均值不等式习题

Posted 2021-01-05 wanghai0666

(fbox{例1})均值不等式中有一类常考题型，比如，求限定条件下的最值问题，对应的解决方法是：常数代换,乘常数再除常数。

【模型1】：已知(2m+3n=2，m>0，n>0)，求(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})的最小值。(给定条件是整式，求分式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式)

分析如下：(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}=cfrac{1}{2}cdot (2m+3n）(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})=cfrac{1}{2}cdot (8+3+cfrac{2m}{n}+cfrac{12n}{m})=cdots)

【模型2】：已知(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}=2，m>0，n>0)，求 (2m+3n)的最小值。(给定条件是分式，求整式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式)

【对照1】：已知(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}=1，a>0，b>0)，求 (cfrac{2}{a-1}+cfrac{1}{b-2})的最小值。(给定条件是分式，求分式的最值，变量集中，再使用均值不等式)

【对照2】：已知(2a+b=1，a>0，b>0)，求 (a^2+2b^2)的最小值。(给定条件是整式，求整式的最值，变量集中，用函数求解最值)

改变限定条件的给出方式：

【变式1】限定条件以简单变形形式给出，

如已知(m>0，n>0，m+cfrac{3}{2}n=1)，求(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})的最小值。

又或已知(m>0，n>0，cfrac{1}{n}+cfrac{3n}{2m}=cfrac{1}{mn})，求(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})的最小值。

【变式2】限定条件以直线的形式给出，

如已知点(P(m，n))在直线(2x+3y=2，x>0，y>0)上，求(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})的最小值。

【变式3】已知直线(ax+by-6=0(a，b>0))过圆(x^2+y^2-2x-4y=0)的圆心(或直线平分此圆或圆上存在两个点关于直线对称)，求(cfrac{4}{a}+cfrac{1}{b})的最小值。

【变式4】限定条件以线性规划形式给出，

如已知(x，y)满足约束条件(egin{cases} &x+yge 3 \\ &x-yge -1 \\ &2x-yleq 3 end{cases}) ，若目标函数(z=ax+by（a＞0，b＞0）)的最大值为10，则(cfrac{5}{a}+cfrac{4}{b})的最小值为多少？

【变式5】限定条件以极限或定积分的形式给出

如已知(limlimits_{x o 1^+} f(x)=limlimits_{x o 1^+}cfrac{x}{x^2+3x+1}=m+n)，求(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})的最小值。

如已知(int_{0}^{2} x, dx=m+n，m>0，n>0)，求(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})的最小值。

【变式6】限定条件以二项式形式给出，如

已知((2x+1)^9)展开式中，含(x^3)项的系数为(m+n，m>0，n>0)，求(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})的最小值。

【变式7】限定条件以数列形式给出，如

已知正项等比数列({a_n})满足：(a_7=a_6+2a_5)，若存在两项(a_m，a_n)，使得(a_ma_n=16a_1^2)，求(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})的最小值。

【变式8】以三点共线的向量形式给出(如宝鸡市三检)，
设向量(overrightarrow{OA}=(1，-2))，(overrightarrow{OB}=(a，-1))，(overrightarrow{OC}=(-b，0))，其中(O)为坐标原点，(a，b>0)，若(A,B,C)三点共线，则(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b})的最小值为多少？

分析：由三点共线的向量表达方式可知，(2a+b=1)，转化为最初的例子。

【变式9】以向量的垂直或平行形式给出

已知向量(vec{a}=(m，1))，(vec{b}=(1，n-1))，若(vec{a}perpvec{b})，则(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})的最小值。

分析：有条件(vec{a}perpvec{b})可知(m+n=1)，即(cfrac{1}{m}+cfrac{4}{n}=(cfrac{1}{m}+cfrac{4}{n})(m+n)=5+cfrac{4n}{m}+cfrac{m}{n}=...)

【变式10】以对数方程的形式给出；

已知(x>0),(y>0)，(lg2^x+lg8^y=lg2)，求(cfrac{1}{x}+cfrac{1}{3y})的最小值。

分析：由已知条件可知，(x+3y=1)，求(cfrac{1}{x}+cfrac{1}{3y})

【变式11】以概率的形式给出；

比如一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为(a)，得2分的概率为(b)，不得分的概率为(c)（(a,b,cin (0,1))）,已知他投篮一次得分的均值为2，求(cfrac{2}{a}+cfrac{1}{3b})的最小值。
分析：由题目可知投篮一次得分的均值(EX=3a+2b=2(a>0,b>0))，求(cfrac{2}{a}+cfrac{1}{3b})的最小值。

【变式12】以解三角形和三角形的面积形式给出；

比如已知点M是(Delta ABC)内的一点，且(overrightarrow{AB}cdot overrightarrow{AC}=2sqrt{3})，(angle BAC=cfrac{pi}{6})，若(Delta MBC,Delta MCA,Delta MAB)的面积分别为(cfrac{1}{2},x,y)，求(cfrac{1}{x}+cfrac{4}{y})的最小值。

分析：由(overrightarrow{AB}cdot overrightarrow{AC}=2sqrt{3})，(angle BAC=cfrac{pi}{6})，故有(|overrightarrow{AB}|cdot |overrightarrow{AC}|coscfrac{pi}{6}=2sqrt{3})，得到(bc=4)，所以(S_{Delta ABC}=cfrac{1}{2}bcsincfrac{pi}{6}=1),又(Delta MBC,Delta MCA,Delta MAB)的面积分别为(cfrac{1}{2},x,y)，故有(cfrac{1}{2}+x+y=1)，即(x+y=cfrac{1}{2}),

【变式13】以隐含条件的形式给出

比如函数(f(x)=cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x}，0<x<2)，求函数(f(x))的最小值。

提示：(f(x)=cfrac{1}{2}cdot (cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x})[x+(2-x)]=cfrac{1}{2}cdot (1+4+cfrac{2-x}{x}+cfrac{4x}{2-x})ge cfrac{1}{2}(5+2sqrt{4})=cfrac{9}{2})，当且仅当(cfrac{2-x}{x}=cfrac{4x}{2-x})，即(x=cfrac{2}{3})时取到等号。

【变式14】以曲线的对称中心的形式给出

(2017广东揭阳联考)若直线(2ax+by-1=0(a>0，b>0))经过曲线(y=cospi x+1(0<x<1))的对称中心，则(cfrac{2}{a}+cfrac{1}{b})的最小值为_____.

分析：做出简图可知，曲线(y=cospi x+1(0<x<1))的对称中心为((cfrac{1}{2}，1))，代入直线得到条件(a+b=1)，

此时题目转化为，已知(a+b=1(a>0，b>0))，求(cfrac{2}{a}+cfrac{1}{b})的最小值的题目，很显然，应用乘常数除常数的思路解决即可。

提示：((cfrac{2}{a}+cfrac{1}{b})_{min}=3+2sqrt{2}).

【变式15】利用点线距的形式给出(2017浙江嘉兴一中模拟)

已知直线(sqrt{2}ax+by=1)(其中(ab eq0))与圆(x^2+y^2=1)相交于(A、B)两点，(O)为坐标原点，且(angle AOB=120^{circ})，则(cfrac{1}{a^2}+cfrac{2}{b^2})的最小值为_____________.

分析：自行做出示意图，结合题目条件，我们可以知道圆心到直线的点线距为(d=cfrac{1}{2})，

即(d=cfrac{1}{2}=cfrac{|sqrt{2}a imes 0+b imes0-1|}{sqrt{2a^2+b^2}})，即(2a^2+b^2=4)，

到此题目转化为已知(2a^2+b^2=4)，求(cfrac{1}{a^2}+cfrac{2}{b^2})的最小值问题。

利用乘常数除常数的方法解决即可。

【变式16】利用换元法转化(2017(cdot)陕西西安质检)

已知实数(x，y)满足(x>y>0)，且(x+y=cfrac{1}{2}) ，则(cfrac{2}{x+3y}+cfrac{1}{x-y})的最小值是_________.

分析：换元法，令(x+3y=s>0)，(x-y=t>0)，

求解上述以(x，y)为元的方程组，得到(x=cfrac{s+3t}{4})；(y=cfrac{s-t}{4})；

由(x+y=cfrac{1}{2})，将上述结果代入得到(s+t=1)，

故此时题目转化为"已知(s+t=1)，(s，t>0)，求(cfrac{2}{s}+cfrac{1}{t})的最小值”问题。

接下来，利用乘常数除常数的思路就可以求解。

简单提示如下：(cfrac{2}{s}+cfrac{1}{t}=(cfrac{2}{s}+cfrac{1}{t})(s+t)=3+)(cfrac{2t}{s}+cfrac{s}{t}ge 3+2sqrt{2})(当且仅当(cfrac{2t}{s}=cfrac{s}{t})及(s+t=1)时取到等号)

看完这些内容，你难道不觉得我们得好好的改造我们的学习方法吗，比如说留意限定条件的给出方式；

(fbox{例1}) (2017榆林模拟)已知正数(x,y)满足(x+2y-xy=0)，求(x+2y)的最小值。

分析：需要将已知条件变形为分式形式，只有这样才能出现乘积为常数，

由(x+2y-xy=0)得到(cfrac{2}{x}+cfrac{1}{y}=1)，

则(x+2y=(x+2y)cdot 1=(x+2y)(cfrac{2}{x}+cfrac{1}{y})\\=2+2+cfrac{x}{y}+cfrac{4y}{x}ge 4+2sqrt{4}=8)

当且仅当(egin{cases}cfrac{2}{x}+cfrac{1}{y}=1\\cfrac{x}{y}=cfrac{4y}{x}end{cases})，即(x=4，y=2)时取等号，故(x+2y)的最小值为8.

(fbox{例2})不等式证明
已知(a>0,b>0,a+b=1)，

求证：(1).(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}+cfrac{1}{ab}ge 8)

(2).((1+cfrac{1}{a})(1+cfrac{1}{b})ge 9)

分析：(1).(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}+cfrac{1}{ab}=2(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b})=2(cfrac{a+b}{a}+cfrac{a+b}{b})=\\2(2+cfrac{a}{b}+cfrac{b}{a})ge 2(2+2sqrt{1})=8),

当且仅当(egin{cases}a+b=1\\a=bend{cases})时，即(a=b=cfrac{1}{2})时取等号。

法2：(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}+cfrac{1}{ab}=cfrac{2}{ab})

由(1=a+bge 2sqrt{ab})得到(0<sqrt{ab}leq cfrac{1}{2})

故(0<ableq cfrac{1}{4})，故(cfrac{1}{ab}ge 4)，故(cfrac{2}{ab}ge 8)，当且仅当$a=b=cfrac{1}{2} $时取到等号。

(2).((1+cfrac{1}{a})(1+cfrac{1}{b})=(1+cfrac{a+b}{a})(1+cfrac{a+b}{b})\\(2+cfrac{b}{a})(2+cfrac{a}{b})=5+2(cfrac{b}{a}+cfrac{a}{b})ge 5+2cdot2=9=)

(fbox{例3})已知(a，bin R^{+}，a+b-ab+3=0)，1、求(ab)的范围；2、求(a+b)的范围；

1、求(ab)的范围；

解：(ecause -3+ab=a+bge 2sqrt{ab})

( herefore ab-2sqrt{ab}-3ge 0)，

((sqrt{ab}+1)(sqrt{ab}-3) ge 0)

$sqrt{ab}leq -1 或 sqrt{ab}ge 3 $

又(a，bin R^{+})，故 (sqrt{ab}ge 3 (当且仅当a=b=3取到等号))

故(abge 9)

2、求(a+b)的范围；

解：(ecause a+b+3=ab leq (cfrac{a+b}{2})^2，令t=a+b)

(t^2-4t-12 ge 0)，

$t leq -2 或 t ge 6 $

故 (a+b ge 6 (当且仅当a=b=3取到等号))

【评析】代数式中同时有(a+b)和(ab)型，两元(a+b，ab)常常转化集中为一元(a+b)或(ab)，这样就好处理多了。

【同类题】设(m，nin R)，则直线((m+1)x+(n+1)y-2=0)与圆((x-1)^2+(y-1)^2=1)相切，且(m+n)的取值范围是_________。

分析：由圆心((1 ,1))到直线的距离等于半径可得，

(cfrac{(m+1)cdot 1+(n+1)cdot 1-2}{sqrt{(m+1)^2+(n+1)^2}}=1) ，

变形得到(mn=m+n+1)，此时即转化为上述例3的类型了。

由(mnleq (cfrac{m+n}{2})^2)，则(m+n+1leq (cfrac{m+n}{2})^2)，

求解上述以(m+n)为整体的不等式，得到(m+nleq 2-2sqrt{2})或者(m+nge 2+2sqrt{2})；

(fbox{例4})已知实数(a，b，c)满足(a+b+c=9，ab+bc+ac=24)，则(b)的取值范围是[1,5]。

解：由于(ab+bc+ac=(a+c)b+ac=24)

故(ac=24-(a+c)b leq (cfrac{a+c}{2})^2)

故(24-(a+c)b leq (cfrac{a+c}{2})^2)，(三元变成了两个元(a+c，b))

又因为(a+c=9-b)，

即(24-(9-b)b leq cfrac{(9-b)^2}{4}),(两元(a+c，b)变成了一元(b))

即(b^2-6b+5 leq 0)

解得(1leq b leq 5)

(fbox{例5})【2016.江西两市联考】已知(x，yin R^+)，且(x+y+cfrac{1}{x}+cfrac{1}{y}=5)，则(x+y)的取值范围是多少？

分析：先将已知表达式变形为(x+y+cfrac{4}{x+y}=5)，接下来的变形的方向就是想法替换掉(xy)，为此，

由(xyleq cfrac{(x+y)^2}{4})，得到(cfrac{1}{xy}ge cfrac{4}{(x+y)^2})，得到(cfrac{x+y}{xy}ge cfrac{4}{x+y})，代入上述等式，得到

(x+y+cfrac{4}{x+y}leq 5)，得到((x+y)^2-5(x+y)+4leq 0)，解得(1leq x+y leq 4)。

(fbox{例6})(2017(cdot)天津卷)

已知(a，bin R，ab>0)，求(cfrac{a^4+4b^4+1}{ab})的最小值。

分析：考虑到题目中(ab>0)，则一般不能把(a，b)单独拆开使用，应该看成一个整体变量，

这样(cfrac{a^4+4b^4+1}{ab}ge cfrac{4a^2b^2+1}{ab}=4ab+cfrac{1}{ab}ge 4)，

当且仅当(a^4=4b^4)和(4ab=cfrac{1}{ab})，

即(a^4=cfrac{1}{2})，(b^4=cfrac{1}{8})，(ab=cfrac{1}{2})时取到等号。

【例7】已知(x>1)，求(f(x)=x+cfrac{1}{x-1})的最小值。

【引例1】已知(a>1，b>0， a+b=4)，求(cfrac{1}{a-1}+cfrac{4}{b})的最小值。((a+b=4Longrightarrow (a-1)+b=3))

【引例2】已知(a>1，b>2， a+b=4)，求(cfrac{1}{a-1}+cfrac{4}{b-2})的最小值。((a+b=4Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1))

【引例3】已知(a>0，b>0， cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}=1)，求(cfrac{1}{a-1}+cfrac{9}{b-1})的最小值。((b=cfrac{a}{a-1}代入，变成关于a的一元，变量集中))

【引例4】函数(f(x)=cfrac{1}{x}+cfrac{4}{1-x})，则(f(x)=(cfrac{1}{x}+cfrac{4}{1-x})[x+(1-x)]=...)，注意隐含条件的发掘和利用。

(fbox{例8})(2017凤翔中学高三理科第二次月考第16题)

设(x，y)满足约束条件(egin{cases}2x-y+2ge 0\\8x-y-4leq 0\\xge 0，yge 0end{cases}，)若目标函数(z=ax+by(a>0，b>0))的最大值为4，则(cfrac{a+2b}{ab})的最小值为多少？

分析：如图所示，要保证目标函数(z=ax+by(a>0，b>0))的最大值为4，则直线必须经过点((1，4))，即(a+4b=4)，所求条件(cfrac{a+2b}{ab})变形为(cfrac{1}{b}+cfrac{2}{a})，此时题目变成已知条件(a+4b=4(a>0，b>0))，求(cfrac{1}{b}+cfrac{2}{a})的最小值，只需要仿照模型完成即可。

提示：(cfrac{a+2b}{ab}=cfrac{1}{b}+cfrac{2}{a}=cfrac{1}{4} imes (cfrac{1}{b}+cfrac{2}{a}) imes 4=cfrac{1}{4} imes (cfrac{1}{b}+cfrac{2}{a}) imes(a+4b)=cfrac{1}{4} imes (+6+cfrac{a}{b}+cfrac{8b}{a})gecfrac{6}{4}+cfrac{1}{4} imes2sqrt{8}=cfrac{3}{2}+sqrt{2})；当且仅当(a+4b=4)且(a^2=8b^2)取到等号。

(fbox{例9})(2017天津一中月考)

设(a+b=2，b>0)，则(cfrac{1}{2|a|}+cfrac{|a|}{b})的最小值为__________.

分析：由题可知，(cfrac{a+b}{2}=1)，则常数代换得到

(cfrac{1}{2|a|}+cfrac{|a|}{b}=cfrac{a+b}{4|a|}+cfrac{|a|}{b}=cfrac{a}{4|a|}+cfrac{b}{4|a|}+cfrac{|a|}{b})

(ge cfrac{a}{4|a|}+2sqrt{cfrac{b}{4|a|}cdot cfrac{|a|}{b}}= cfrac{a}{4|a|}+1)(当且仅当(b^2=4a^2)时等号成立)，

接下来分类讨论得到

当(a>0)时，(cfrac{1}{2|a|}+cfrac{|a|}{b}ge cfrac{a}{4a}+1=cfrac{5}{4});

当(a<0)时，(cfrac{1}{2|a|}+cfrac{|a|}{b}ge cfrac{a}{-4a}+1=cfrac{3}{4});

综上所述，(cfrac{1}{2|a|}+cfrac{|a|}{b})的最小值为(cfrac{3}{4});

解后反思：常数代换，部分使用均值不等式，分类讨论；

(fbox{例10})(2017(cdot)陕西西安质检)

已知实数(x，y)满足(x>y>0)，且(x+y=cfrac{1}{2}) ，则(cfrac{2}{x+3y}+cfrac{1}{x-y})的最小值是_________.

分析：换元法，令(x+3y=s>0)，(x-y=t>0)，

求解上述以(x，y)为元的方程组，得到(x=cfrac{s+3t}{4})；(y=cfrac{s-t}{4})；

由(x+y=cfrac{1}{2})，将上述结果代入得到(s+t=1)，

故此时题目转化为"已知(s+t=1)，(s，t>0)，求(cfrac{2}{s}+cfrac{1}{t})的最小值”问题。

接下来，利用乘常数除常数的思路就可以求解。

简单提示如下：(cfrac{2}{s}+cfrac{1}{t}=(cfrac{2}{s}+cfrac{1}{t})(s+t)=3+)(cfrac{2t}{s}+cfrac{s}{t})(=cdots)

(fbox{例11})(2017(cdot)江西南昌十所省级重点中学模拟)

若正数(a，b)满足(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}=1)，求 (cfrac{2}{a-1}+cfrac{1}{b-2})的最小值_________。

分析：由(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}=1)，变形得到(a=cfrac{b}{b-2})，变量集中。

又由于(a>0，b>0)，即(a=cfrac{b}{b-2}>0)，即(b>2)，

则(cfrac{2}{a-1}+cfrac{1}{b-2}=cfrac{2}{frac{b}{b-2}-1}+cfrac{1}{b-2}=(b-2)+cfrac{1}{b-2}ge 2)

当且仅当(cfrac{1}{b-2}=b-2)，即(a=b=3)时，取得等号。

(fbox{例12})【综合应用题目】
已知函数(f(x)=mlnx+x^2-mx)在((1，+∞))上单调递增，求m的取值范围．

【分析】由函数单调递增，转化为(f'(x)≥0)在((1，+∞))上恒成立，然后分离参数得到(m≤g(x))，用均值不等式求新函数(g(x))的最小值即可。

【解答】由题目可知，(f'(x)≥0)在((1，+∞))上恒成立，且(f'(x))不恒为零，

则有(f'(x)=cfrac{m}{x}+2x-m=cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0)在((1，+∞))上恒成立，

即(2x^2-mx+m≥0)在((1，+∞))上恒成立，常规法分离参数得到

m≤(cfrac{2x^2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4)

由于(x>1)，故(2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4≥2sqrt{4}+4=8)，当且仅当(x=2)时取到等号。

故(m≤8)，当(m=8)时，函数不是常函数，也满足题意，故(m≤8)。

【点评】函数(f(x))在区间(D) 上单调递增，则(f'(x)≥0)在(D)上恒成立，且(f'(x))不恒为零；

函数(f(x))在区间(D)上单调递减，则(f'(x)≤0)在(D)上恒成立，且(f'(x))不恒为零；

此处要求(f'(x))不恒为零，意思是要排除函数(f(x))为常函数的情形。