关于3B1B特征向量那一节斐波那契用矩阵求解问题
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了关于3B1B特征向量那一节斐波那契用矩阵求解问题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
我们知道对于矩阵 \\(A^n\\)，它可以通过特征向量的线性组合来进行相似对角化，先\\(D = PAP^-1\\) 后 \\(A = PD^nP^-1\\)，其中 \\(D\\) 是一个由特征值组成的对角矩阵，\\(P = [v_1, v_2]\\) 是一个包含线性无关的特征向量的矩阵。
对于矩阵 \\(A = \\beginbmatrix0 & 1 \\\\ 1 & 1\\endbmatrix\\)，我们已经求出了两个线性无关的特征向量：
\\[v_1 = \\beginbmatrix2 \\\\ 1 + \\sqrt5\\endbmatrix, \\quad
v_2 = \\beginbmatrix2 \\\\ 1 - \\sqrt5\\endbmatrix.
\\]
把这两个向量按列排成矩阵 \\(P\\)：
\\[P = \\beginbmatrix2 & 2 \\\\ 1 + \\sqrt5 & 1 - \\sqrt5\\endbmatrix.
\\]
矩阵 \\(P^-1\\) 可以通过求 \\(P\\) 的逆矩阵得到：
\\[P^-1 = -\\frac14\\sqrt5 \\beginbmatrix1 - \\sqrt5 & -2 \\\\ -1 - \\sqrt5 & 2 \\endbmatrix.
\\]
我们有 \\(D = PAP^-1\\)，其中
\\[D = \\beginbmatrix\\lambda_1 & 0 \\\\ 0 & \\lambda_2\\endbmatrix = \\beginbmatrix\\frac1 + \\sqrt52 & 0 \\\\ 0 & \\frac1 - \\sqrt52\\endbmatrix
\\]
是特征值组成的对角矩阵。
我们可以把 \\(A^n\\) 表示为 \\(PD^nP^-1\\)。由于 \\(D\\) 是对角矩阵，我们可以直接将 \\(D\\) 的每个元素取 \\(n\\) 次幂：
\\[D^n = \\beginbmatrix\\left(\\frac1 + \\sqrt52\\right)^n & 0 \\\\ 0 & \\left(\\frac1 - \\sqrt52\\right)^n\\endbmatrix.
\\]
然后再将 \\(D^n\\) 代入 \\(PD^nP^-1\\)，得到：
\\[A^n = P\\beginbmatrix\\left(\\frac1 + \\sqrt52\\right)^n & 0 \\\\ 0 & \\left(\\frac1 - \\sqrt52\\right)^n\\endbmatrixP^-1 = \\frac14\\sqrt5\\beginbmatrix2(\\sqrt5-1)\\left(\\dfrac1+\\sqrt52\\right)^n + 2(1+\\sqrt5)\\left(\\dfrac1-\\sqrt52\\right)^n & 4\\left(\\dfrac1+\\sqrt52\\right)^n - 4\\left(\\dfrac1-\\sqrt52\\right)^n \\\\ 4\\left(\\dfrac1+\\sqrt52\\right)^n - 4\\left(\\dfrac1-\\sqrt52\\right)^n & 2(1+\\sqrt5)\\left(\\dfrac1+\\sqrt52\\right)^n - 2(1-\\sqrt5)\\left(\\dfrac1-\\sqrt52\\right)^n\\endbmatrix.
\\]
下面是完整的 \\(A^n\\) 的表达式：
\\[A^n = P\\beginbmatrix\\left(\\frac1 + \\sqrt52\\right)^n & 0 \\\\ 0 & \\left(\\frac1 - \\sqrt52\\right)^n\\endbmatrixP^-1 = \\frac1\\sqrt5\\beginbmatrix\\left(\\dfrac1+\\sqrt52\\right)^n-1 - \\left(\\dfrac1-\\sqrt52\\right)^n-1 & \\left(\\dfrac1+\\sqrt52\\right)^n - \\left(\\dfrac1-\\sqrt52\\right)^n \\\\ \\left(\\dfrac1+\\sqrt52\\right)^n - \\left(\\dfrac1-\\sqrt52\\right)^n & \\left(\\dfrac1+\\sqrt52\\right)^n+1 - \\left(\\dfrac1-\\sqrt52\\right)^n+1\\endbmatrix.
\\]
交换特征向量
那一开始那个地方的\\(P = [v_1, v_2]\\)这里可否换成\\(P = [v_2, v_1]\\)呢
由于我没学过线代只听过3b1b的课，对原理什么都不懂，所以我这里就直接算，算完看看结果咋样
在本题中，将 \\(P\\) 中的顺序进行交换后，矩阵 \\(P\\) 和其逆矩阵 \\(P^-1\\) 的计算结果分别为：
\\[P^-1=\\frac14\\sqrt5\\beginpmatrix
1+\\sqrt5 & -2 \\\\
\\sqrt5-1 & 2
\\endpmatrix.
\\]
特征值反了过来
\\[D = \\beginbmatrix\\frac1 - \\sqrt52 & 0 \\\\ 0 & \\frac1 + \\sqrt52\\endbmatrix
\\]
\\[D^n = \\beginbmatrix\\left(\\frac1 - \\sqrt52\\right)^n & 0 \\\\ 0 & \\left(\\frac1 + \\sqrt52\\right)^n\\endbmatrix.
\\]
接下来，我们可以按照 \\(P\\) 和 \\(P^-1\\) 的结果，计算 \\(A^n\\) 的表达式：
结果很惊讶，第一次算 得出的结果居然和[v1,v2]一样
\\[A^n = P\\beginbmatrix\\left(\\frac1 - \\sqrt52\\right)^n & 0 \\\\ 0 & \\left(\\frac1 + \\sqrt52\\right)^n\\endbmatrixP^-1 = \\frac1\\sqrt5\\beginbmatrix\\left(\\dfrac1+\\sqrt52\\right)^n-1 - \\left(\\dfrac1-\\sqrt52\\right)^n-1 & \\left(\\dfrac1+\\sqrt52\\right)^n - \\left(\\dfrac1-\\sqrt52\\right)^n \\\\ \\left(\\dfrac1+\\sqrt52\\right)^n - \\left(\\dfrac1-\\sqrt52\\right)^n & \\left(\\dfrac1+\\sqrt52\\right)^n+1 - \\left(\\dfrac1-\\sqrt52\\right)^n+1\\endbmatrix.
\\]
也就是说这里不管p[v1,v2]或者p[v2,v1]两者都可以，跟顺序无关。
最后再说一下，md语法写数学公式是真的麻烦，一大堆难免有符号之类的错误，如果有错误希望各位大佬能指正。
附上md写数学公式的图
斐波那契数列小结
关于斐波那契数列，相信大家对它并不陌生，关于其的题目也不在少数。
我现在总结一下有关它的一些有趣的性质。
基础问题
1.求斐波那契数列的第k项
常规方法是利用f[i]=f[i-1]+f[i-2]，时间复杂度为O（n）
显然最多处理到1e7
假如n到1e18怎么办，O（n）显然就T飞了.
我们考虑利用什么方法来加速
斐波那契数列数列是其次线性递推式
所以是可以利用矩阵乘法进行求解的
$$ left [ egin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 end{matrix} ight] ag{2} $$
很显然用[Fi,F(i-1)]乘以上面的矩阵是可以得到[Fi+F(i-1),Fi]
这样，再利用矩阵快速幂就可以做到8logn求解斐波那契数列第n项了
求Fi与Fj的最大公约数
这里要用到一个神奇的性质
gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]
证明：丢链就跑
这里的结论可以记下来，可能会有用
3.斐波那契数列的循环节
求斐波那契数列modn的
根据一些奇奇怪怪的性质，我们可以在logp的时间求斐波那契数列的循环节
综合问题
求一个循环节，然后矩阵快速幂，就是一个模板的合集
// luogu-judger-enable-o2
# include<cstring>
# include<iostream>
# include<cstdio>
# include<cmath>
# include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
ll dp[maxn*10];
ll prime[maxn],s=0;
bool vis[maxn];
char ch[30000005];
int len;
void init_prime()
{
for(ll i=2;i<maxn;i++)
{
if(!vis[i]) prime[s++]=i;
for (ll j=0;j<s&&i*prime[j]<maxn;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
return;
}
ll pow_mod(ll a1,ll b1)
{
ll ans=1;
while(b1)
{
if(b1&1) ans=ans*a1;
b1>>=1;
a1*=a1;
}
return ans;
}
ll pow_mod2(ll a,ll b,ll p)
{
ll ans=1;
while(b)
{
if(b&1) ans=ans*a%p;
b>>=1;
a=a*a%p;
}
return ans;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
bool f(ll n,ll p)
{
return pow_mod2(n,(p-1)>>1,p)==1;
}
struct matrix
{
ll x1,x2,x3,x4;
};
matrix matrix_a,matrix_b,matrix_c;
matrix M2(matrix aa,matrix bb,ll mod)
{
matrix tmp;
tmp.x1=(aa.x1*bb.x1%mod+aa.x2*bb.x3%mod)%mod;
tmp.x2=(aa.x1*bb.x2%mod+aa.x2*bb.x4%mod)%mod;
tmp.x3=(aa.x3*bb.x1%mod+aa.x4*bb.x3%mod)%mod;
tmp.x4=(aa.x3*bb.x2%mod+aa.x4*bb.x4%mod)%mod;
return tmp;
}
matrix M(ll n,ll mod)
{
matrix a,b;
a=matrix_a;b=matrix_b;
while(n){
if(n&1){
b=M2(b,a,mod);
}
n>>=1;
a=M2(a,a,mod);
}
return b;
}
ll fac[100][2],l,x,fs[1000];
void dfs(ll count,ll step)
{
if(step==l)
{
fs[x++]=count;
return ;
}
ll sum=1;
for(ll i=0;i<fac[step][1];i++)
{
sum*=fac[step][0];
dfs(count*sum,step+1);
}
dfs(count,step+1);
}
ll solve2(ll p)
{
if(p<1e6&&dp[p]) return dp[p];
bool ok=f(5,p);
ll t;
if(ok) t=p-1;
else t=2*p+2;
l=0;
for(ll i=0;i<s;i++)
{
if(prime[i]>t/prime[i]) break;
if(t%prime[i]==0)
{
ll count=0;
fac[l][0]=prime[i];
while(t%prime[i]==0)
{
count++;t/=prime[i];
}
fac[l++][1]=count;
}
}
if(t>1)
{
fac[l][0]=t;
fac[l++][1]=1;
}
x=0;
dfs(1,0);
sort(fs,fs+x);
for(ll i=0;i<x;i++)
{
matrix m1=M(fs[i],p);
if(m1.x1==m1.x4&&m1.x1==1&&m1.x2==m1.x3&&m1.x2==0)
{
if(p<1e6) dp[p]=fs[i];
return fs[i];
}
}
}
ll solve(ll n){
ll ans=1,cnt;
for(ll i=0;i<s;i++){
if(prime[i]>n/prime[i]){
break;
}
if(n%prime[i]==0){
ll count=0;
while(n%prime[i]==0){
count++;n/=prime[i];
}
cnt=pow_mod(prime[i],count-1);
cnt*=solve2(prime[i]);
ans=(ans/gcd(ans,cnt))*cnt;
}
}
if(n>1){
cnt=1;
cnt*=solve2(n);
ans=ans/gcd(ans,cnt)*cnt;
}
return ans;
}
void pre()
{
init_prime();
matrix_a.x1=matrix_a.x2=matrix_a.x3=1;
matrix_a.x4=0;
matrix_b.x1=matrix_b.x4=1;
matrix_b.x2=matrix_b.x3=0;
dp[2]=3;dp[3]=8;dp[5]=20;
}
int main(){
ll t,n,MOD,num=0;
pre();
scanf("%s",ch+1);
len=strlen(ch+1);
scanf("%lld",&n);
MOD=solve(n);
for (int i=1;i<=len;i++)
{
num=num*10+ch[i]-‘0‘;
while (num>=MOD) num-=MOD;
}
matrix_c=M(num,n);
printf("%lld",matrix_c.x2);
return 0;
}
以上是关于关于3B1B特征向量那一节斐波那契用矩阵求解问题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章