斐波那契数列以及斐波那契数列的衍生形式 利用矩阵快速幂求解

Posted 2020-08-15

一、斐波那契数列F［n］＝F［n-1］+F[n-2]

    可转换为矩阵s［1，1，1，0］的n次幂的矩阵的s［0］［1］的值

    矩阵的幂次方 可通过 奇判断及进制移位提高时间效率

   位与运算 n&1表示的意思：取二进制n的最末位，二进制的最末位为零表示n为哦数，为1表示奇数，即等价于n％2

   n>>1 是将n的二进制向右移动一位， n>>=1 即把移动后的值赋给n 

 题目：求斐波那契数列F[n]%10000(取模)

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

const int MOD = 10000;

int fast_mod(int n)    // 求 (t^n)%MOD 
{
    int t[2][2] = {1, 1, 1, 0};
    int ans[2][2] = {1, 0, 0, 1};  // 初始化为单位矩阵
    int tmp[2][2];    //自始至终都作为矩阵乘法中的中间变量 
     
    while(n)
    {
        if(n & 1)  //实现 ans *= t; 其中要先把 ans赋值给 tmp，然后用 ans = tmp * t 
        {
            for(int i = 0; i < 2; ++i)
                for(int j = 0; j < 2; ++j)
                    tmp[i][j] = ans[i][j]; 
            ans[0][0] = ans[1][1] = ans[0][1] = ans[1][0] = 0;  // 注意这里要都赋值成 0 
            
            for(int i = 0; i < 2; ++i)    //  矩阵乘法 
            {
                for(int j = 0; j < 2; ++j)
                {
                    for(int k = 0; k < 2; ++k)
                        ans[i][j] = (ans[i][j] + tmp[i][k] * t[k][j]) % MOD;
                }
            }
        }
        
        //  下边要实现  t *= t 的操作，同样要先将t赋值给中间变量  tmp ，t清零，之后 t = tmp* tmp 
        for(int i = 0; i < 2; ++i)
            for(int j = 0; j < 2; ++j)
                tmp[i][j] = t[i][j];
        t[0][0] = t[1][1] = 0;
        t[0][1] = t[1][0] = 0;
        for(int i = 0; i < 2; ++i)
        {
            for(int j = 0; j < 2; ++j)
            {
                for(int k = 0; k < 2; ++k)
                    t[i][j] = (t[i][j] + tmp[i][k] * tmp[k][j]) % MOD;
            }
        }
        
        n >>= 1;
    }
    return ans[0][1];
}

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n) && n != -1)
    {    
        printf("%d\\n", fast_mod(n));
    }
    return 0;
}

二、斐波那契数列的衍生数列

根据斐波那契数列的矩阵法，得到此题 的结果应为s[2][2]={1,8,1,0}的n－2次幂的矩阵的s［0］［0］＋s［0］［1］的值

#include<iostream>
const long long MOD=100000007;
using namespace std;
int main()
{
    long long n,h;
    int i,j,k;
    while(cin>>n)
    {
        long long f[2][2]={1,0,0,1};
        long long s[2][2]={1,8,1,0};
        long long t[2][2];
        if(n==1||n==2)
            cout<<1<<endl;
        else
        {
        n=n-2;
        while(n)
        {
            if(n%2!=0)
            {
                for(i=0;i<2;i++)
                    for(j=0;j<2;j++)
                        t[i][j]=f[i][j];
                for(i=0;i<2;i++)
                    for(j=0;j<2;j++)
                        f[i][j]=0;
                for(int i = 0; i < 2; ++i)    
                    for(int j = 0; j < 2; ++j)
                        for(int k = 0; k < 2; ++k)
                            f[i][j] = (f[i][j]+t[i][k]*s[k][j])%MOD;
            }
            
            for(i=0;i<2;i++)
                    for(j=0;j<2;j++)
                        t[i][j]=s[i][j];
                        
            for(i=0;i<2;i++)
                    for(j=0;j<2;j++)
                        s[i][j]=0;
            for(int i = 0; i < 2; ++i)    
                    for(int j = 0; j < 2; ++j)
                        for(int k = 0; k < 2; ++k)
                            s[i][j] = (s[i][j]+t[i][k]*t[k][j])%MOD;
            n>>=1;
        }
        h=(f[0][0]+f[0][1])%MOD;
        cout<<h<<endl;
        }
    }
    return 0;
}