斐波那契数列小结

Posted 2020-12-27 logeadd

关于斐波那契数列，相信大家对它并不陌生，关于其的题目也不在少数。

我现在总结一下有关它的一些有趣的性质。

基础问题

1.求斐波那契数列的第k项

常规方法是利用f[i]=f[i-1]+f[i-2]，时间复杂度为O（n）

显然最多处理到1e7

假如n到1e18怎么办，O（n）显然就T飞了.

我们考虑利用什么方法来加速

斐波那契数列数列是其次线性递推式

所以是可以利用矩阵乘法进行求解的

$$ left [ egin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0  end{matrix} ight] ag{2}  $$ 

很显然用[Fi,F(i-1)]乘以上面的矩阵是可以得到[Fi+F(i-1),Fi]

这样，再利用矩阵快速幂就可以做到8logn求解斐波那契数列第n项了

2.斐波那契数列公约数

 

求Fi与Fj的最大公约数

这里要用到一个神奇的性质

gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]

证明：丢链就跑

 

这里的结论可以记下来，可能会有用

3.斐波那契数列的循环节

提交地址

求斐波那契数列modn的

根据一些奇奇怪怪的性质，我们可以在logp的时间求斐波那契数列的循环节

综合问题

洛谷4000

求一个循环节，然后矩阵快速幂，就是一个模板的合集

// luogu-judger-enable-o2
# include<cstring>
# include<iostream>
# include<cstdio>
# include<cmath>
# include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
ll dp[maxn*10];
ll prime[maxn],s=0;
bool vis[maxn];
char ch[30000005];
int len;
void init_prime()
{
    for(ll i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!vis[i]) prime[s++]=i;
        for (ll j=0;j<s&&i*prime[j]<maxn;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    return;
}
ll pow_mod(ll a1,ll b1)
{
    ll ans=1;
    while(b1)
    {
        if(b1&1) ans=ans*a1;
        b1>>=1;
        a1*=a1;
    }
    return ans;
}
ll pow_mod2(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return ans;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
bool f(ll n,ll p)
{
    return pow_mod2(n,(p-1)>>1,p)==1;
}
struct matrix
{
    ll x1,x2,x3,x4;
};
    matrix matrix_a,matrix_b,matrix_c;
matrix M2(matrix aa,matrix bb,ll mod)
{
    matrix tmp;
    tmp.x1=(aa.x1*bb.x1%mod+aa.x2*bb.x3%mod)%mod;
    tmp.x2=(aa.x1*bb.x2%mod+aa.x2*bb.x4%mod)%mod;
    tmp.x3=(aa.x3*bb.x1%mod+aa.x4*bb.x3%mod)%mod;
    tmp.x4=(aa.x3*bb.x2%mod+aa.x4*bb.x4%mod)%mod;
    return tmp;
}
matrix M(ll n,ll mod)
{
    matrix a,b;
    a=matrix_a;b=matrix_b;
    while(n){
        if(n&1){
            b=M2(b,a,mod);
        }
        n>>=1;
        a=M2(a,a,mod);
    }
    return b;
}
    ll fac[100][2],l,x,fs[1000];
void dfs(ll count,ll step)
{
    if(step==l)
    {
        fs[x++]=count;
        return ;
    }
    ll sum=1;
    for(ll i=0;i<fac[step][1];i++)
    {
        sum*=fac[step][0];
        dfs(count*sum,step+1);
    }
    dfs(count,step+1);
}
ll solve2(ll p)
{
    if(p<1e6&&dp[p]) return dp[p];
    bool ok=f(5,p);
    ll t;
    if(ok) t=p-1;
    else t=2*p+2;
    l=0;
    for(ll i=0;i<s;i++)
    {
        if(prime[i]>t/prime[i]) break;
        if(t%prime[i]==0)
        {
            ll count=0;
            fac[l][0]=prime[i];
            while(t%prime[i]==0)
            {
                count++;t/=prime[i];
            }
            fac[l++][1]=count;
        }
    }
    if(t>1)
    {
        fac[l][0]=t;
        fac[l++][1]=1;
    }
    x=0;
    dfs(1,0);
    sort(fs,fs+x);
    for(ll i=0;i<x;i++)
    {
        matrix m1=M(fs[i],p);
        if(m1.x1==m1.x4&&m1.x1==1&&m1.x2==m1.x3&&m1.x2==0)
        {
            if(p<1e6) dp[p]=fs[i];
            return fs[i];
        }
    }
}
ll solve(ll n){
    ll ans=1,cnt;
    for(ll i=0;i<s;i++){
        if(prime[i]>n/prime[i]){
            break;
        }
        if(n%prime[i]==0){
            ll count=0;
            while(n%prime[i]==0){
                count++;n/=prime[i];
            }
            cnt=pow_mod(prime[i],count-1);
            cnt*=solve2(prime[i]);
            ans=(ans/gcd(ans,cnt))*cnt;
        }
    }
    if(n>1){
        cnt=1;
        cnt*=solve2(n);
        ans=ans/gcd(ans,cnt)*cnt;
    }
    return ans;
}
void pre()
{
    init_prime();
    matrix_a.x1=matrix_a.x2=matrix_a.x3=1;
    matrix_a.x4=0;
    matrix_b.x1=matrix_b.x4=1;
    matrix_b.x2=matrix_b.x3=0;
    dp[2]=3;dp[3]=8;dp[5]=20;
}
int main(){
    ll t,n,MOD,num=0;
    pre();
    scanf("%s",ch+1);
    len=strlen(ch+1);
    scanf("%lld",&n);
    MOD=solve(n);
    for (int i=1;i<=len;i++)
    {
        num=num*10+ch[i]-‘0‘;
        while (num>=MOD) num-=MOD;
    }
    matrix_c=M(num,n);
    printf("%lld",matrix_c.x2);
    return 0;
}