斐波那契数列的公式是啥

Posted 2023-03-27

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

显然这是一个线性递推数列。

通项公式的推导方法一：利用特征方程

线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5)*[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n【√5表示根号5】

通项公式的推导方法二：普通方法

设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1

n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]

将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)

r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n 参考技术A 这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列。该数列由下面的递推关系决定：
F0=0,F1=1
Fn+2=Fn + Fn+1(n>=0)
它的通项公式是 Fn=1/根号5[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方(n属于正整数)

补充问题：
菲波那契数列指的是这样一个数列：
1，1，2，3，5，8，13，21……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和
它的通项公式为：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

该数列有很多奇妙的属性
比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……

还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了菲波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到

如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值

仅供参考。 参考技术B 回答

这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列。该数列由下面的递推关系决定：F0=0,F1=1Fn+2=Fn + Fn+1(n>=0)它的通项公式是 Fn=1/根号5[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方(n属于正整数)

参考技术C 121 121 121 110 120 122 132 123 456 789 参考技术D 斐波那契用途广泛美发行业已经用于发型设计，有了数据比例堆积才能剪出更有美感的发型，原创曾建华斐波那契科学剪发技术。

斐波那契数列前n项和公式是啥？

斐波那契数列前n项和公式是F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）。

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列的定义者，是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的莱昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，莱昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。另外斐波纳契还在计算机C语言程序题中应用广泛。

斐波那契数列的平方与前后项：

从第二项开始（构成一个新数列，第一项为1，第二项为2，……），每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1。

如：第二项 1 的平方比它的前一项 1 和它的后一项 2 的积 2 少 1，第三项 2 的平方比它的前一项 1 和它的后一项 3 的积 3 多 1。

注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项 1 开始数，第 4 项 5 是奇数，但它是偶数项，如果认为 5 是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通。

参考技术A S(n+1)-S(n)=a(n+1)=S(n)-S(n-2)然后就用特征方程法解一下即可