矩阵乘法求解多项式递推问题

Posted 2022-01-27 行码棋

• 博客主页: https://blog.csdn.net/qq_50285142
• 欢迎点赞👍收藏✨关注❤留言 📝 如有错误，敬请指正
• 🎈虽然生活很难，但我们也要一直走下去🎈

文章目录

• 1.斐波那契数列问题引入
• 2.矩阵快速幂求解斐波那契数列
• 3.构造矩阵求解多项式的递推公式
• • 例题1
  • 例题2
  • 例题3
  • • 往期优质文章推荐

1.斐波那契数列问题引入

对于求斐波那契数列第n项的问题，相信大家已经非常熟悉了，下面做一下简单的描述。

斐波那契数列数学问题：
对于一个斐波那契数列满足公式：
$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$
特别的，$f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1$
求给定n，求$f(n)$的值

当给定的n限制比较小时，我们可以采用递推的方式求解，但是当n给的范围比较大时，就显然不能采用递推的方式了。

对于斐波那契的其它求解方法，下面这篇文章有一个比较清楚的描述。
斐波那契的几种求解方法

本文着重探讨斐波那契的矩阵快速幂求解方式。

2.矩阵快速幂求解斐波那契数列

前导知识：矩阵乘法运算，快速幂思想

斐波那契递推公式：$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$

对于这个公式，我们首先就是要构造一个矩阵乘积的等式,这个等式有以下特点：

• 矩阵等式刚好可以看成Y(n)和Y(n-1)的递推公式
  比如$\left[\begin{array}{cc}f(n)& f(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}f(n-1)& f(n-2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$
• 在递推的等式中出现数字的矩阵不能和n相关，也就是必须全部为数字

构造这样的等式首先就是要得到需要递推的矩阵表达式，对于斐波那契数列来说，就是上面举例的一个矩阵等式，首先需要想到$\left[\begin{array}{cc}f(n)& f(n-1)\end{array}\right]$（这个感觉确实没有办法解释怎么构造的，因为斐波那契是基础，更多的递推构造都是和斐波那契很相似的）
那么右边就是$\left[\begin{array}{cc}f(n-1)& f(n-2)\end{array}\right]$
然后在后边乘一个矩阵需要让等式成立，可以求出是$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$
最后得到$\left[\begin{array}{cc}f(n)& f(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}f(n-1)& f(n-2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$
这就是一个递推公式，求$f(n)$的话,从$\left[\begin{array}{cc}f(1)& f(0)\end{array}\right]$开始，那么$\left[\begin{array}{cc}f(n)& f(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}f(1)& f(0)\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}$
这个${\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}$就可以用矩阵快速幂求解，最后根据矩阵的一一对应相等的性质，求出$f(n)$
注意： 矩阵的乘法是不具有交换律的

代码：

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N = 2;
int n,m;
//a是第一个乘数，b是第二个乘数，c是存结果的数组
void mul(int a[][N],int b[][N],int t[][N])

	static int c[N][N];
	memset(c,0,sizeof c);
	for(int i=0;i<N;i++)
		for(int j=0;j<N;j++)
			for(int k=0;k<N;k++)
				c[i][j]=(c[i][j]+(ll)a[i][k]*b[k][j]+m)%m;
	memcpy(t,c,sizeof c);//复制数组

int main()

	int a[N][N]=1,0;//f(1) 和 f(0)
	int b[N][N]=1,1,1,0;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int t = n-1;//矩阵的n-1次方
	while(t)
	
		if(t&1) mul(a,b,a);
		mul(b,b,b);
		t>>=1;
	
	int res = (a[0][0]%m+m)%m;//最后的结果存在a数组的第一行第一列
	printf("%d\\n",res);
	return 0;

3.构造矩阵求解多项式的递推公式

例题1

斐波那契的前n项和

$f_1=1,f_2=1,f_3=2,f_4=3,\dots ,f_{以上是关于矩阵乘法求解多项式递推问题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章}$

特征多项式

利用Cayley-Hamilton theorem 优化矩阵线性递推

模板矩阵加速

矩阵快速幂

略谈矩阵乘法优化递推

一道简单的递推题(快速幂+矩阵乘法优化+滚动数组)