皇后游戏 题解

Posted 2023-04-29 x383494

luogu P2123

题目描述

皇后有 \\(n\\) 位大臣，每位大臣的左右手上面分别写上了一个正整数。恰逢国庆节来临，皇后决定为 \\(n\\) 位大臣颁发奖金，其中第 \\(i\\) 位大臣所获得的奖金数目为第 \\(i－1\\) 位大臣所获得奖金数目与前 \\(i\\) 位大臣左手上的数的和的较大值再加上第 \\(i\\) 位大臣右手上的数。

形式化地讲：我们设第 \\(i\\) 位大臣左手上的正整数为 \\(a_i\\)，右手上的正整数为 \\(b_i\\)，则第 \\(i\\) 位大臣获得的奖金数目为 \\(c_i\\) 可以表达为：

\\[c_i = \\left\\ \\beginarraylc a_1+b_1&,i=1 \\\\ \\max\\left\\c_i-1,\\sum\\limits_j=1^ia_j\\right\\+b_i &,2\\le i\\le n \\endarray \\right. \\]

当然，吝啬的皇后并不希望太多的奖金被发给大臣，所以她想请你来重新安排一下队伍的顺序，使得获得奖金最多的大臣，所获奖金数目尽可能的少。

注意：重新安排队伍并不意味着一定要打乱顺序，我们允许不改变任何一位大臣的位置。

解法

考虑邻项交换法.

对相邻两大臣 \\(k\\), \\(k+1\\)，记 \\(n_0\\) 为 \\(\\sum\\limits_j=0^k-1a_j\\)，\\(n_1=a_k\\)，\\(n_2=a_k+1\\)，\\(m_1=b_k\\)，\\(m_2=b_k-1\\).

不难发现，交换后更优的充要条件是

\\[\\max\\left\\ n_2+m_1+m_2, n_1+n_2+m_1 \\right\\ \\gt \\max\\left\\ n_1+m_2+m_1, n_2+n_1+m_2 \\right\\ \\]

然而，直接这样会被毒瘤dalao ouuan 卡成 80 pts（本来就是错解

看完别人的题解后发现不满足严格弱序（不可比性的传递性）

注意到果然我没什么注意力不可比的充要条件是在 \\(\\beginbmatrixa&b\\\\c&d\\endbmatrix\\) 中 \\(a=c\\le b,d\\)，且 \\(\\beginbmatrixa&b\\\\c&d\\endbmatrix=\\beginbmatrixn_1 & n_2 \\\\ m_1 & m_2\\endbmatrix\\) 旋转整数个 \\(\\dfrac\\pi2\\)，翻译成人话就是最小两数相等且相邻.

又注意到 \\(a=b\\) 时（\\(c=d\\) 同理）满足不可比性的传递性，因此问题只会出在 \\(a=b\\) 上.

考虑 \\(a=b\\le c,d\\)，此时不可比；而对于一组大于 \\(c,d\\) 的 \\(a,b\\)，比出的结果与 \\(c>d\\) 相同.于是，我们可以仿照它，令 \\(a=b \\le c,d\\) 时结果为 \\(c>d\\)，完美AC.

另外，也可以令 \\(a=b \\le c,d\\) 时将 \\(a,b\\) 一组放到前面去，此时要注意 \\(a=b=c=d\\) 时仍不可比，这样也可AC.

洛谷 P1219 八皇后 题解

此文为博主原创题解，转载时请通知博主，并把原文链接放在正文醒目位置。

题目链接：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1219

题目描述

检查一个如下的6 x 6的跳棋棋盘，有六个棋子被放置在棋盘上，使得每行、每列有且只有一个，每条对角线(包括两条主对角线的所有平行线)上至多有一个棋子。

上面的布局可以用序列2 4 6 1 3 5来描述，第i个数字表示在第i行的相应位置有一个棋子，如下：

行号 1 2 3 4 5 6

列号 2 4 6 1 3 5

这只是跳棋放置的一个解。请编一个程序找出所有跳棋放置的解。并把它们以上面的序列方法输出。解按字典顺序排列。请输出前3个解。最后一行是解的总个数。

//以下的话来自usaco官方，不代表洛谷观点

特别注意: 对于更大的N(棋盘大小N x N)你的程序应当改进得更有效。不要事先计算出所有解然后只输出(或是找到一个关于它的公式），这是作弊。如果你坚持作弊，那么你登陆USACO Training的帐号删除并且不能参加USACO的任何竞赛。我警告过你了！

输入输出格式

输入格式：

一个数字N (6 <= N <= 13) 表示棋盘是N x N大小的。

输出格式：

前三行为前三个解，每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字，表示解的总数。

输入输出样例

输入样例#1：

6

输出样例#1：

2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4

说明

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

 

分析：

经典的八皇后问题。（然而我交了四次才过）

每行只能放一个皇后，然后搜索皇后所在的列，能放就放。注意数组一定要开大点qwq血的教训。

 

AC代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 
 6 int n,tot,note[50],vis[5][100];
 7 
 8 void search(int cur)
 9 {
10     if(cur == n)
11     {
12         tot++;
13         if(tot <= 3)
14         {
15             for(int i = 0;i < n;++ i)
16                 printf("%d ",note[i]+1);
17             puts("");
18         }
19         return;
20     }
21     else
22     {
23         for(int i = 0;i < n;++ i)
24         {
25             if(vis[1][i] || vis[2][cur-i+n] || vis[3][cur+i])
26                 continue;
27             else
28             {
29                 note[cur] = i;
30                 vis[1][i] = 1;
31                 vis[2][cur-i+n] = 1;
32                 vis[3][cur+i] = 1;
33                 search(cur+1);
34                 vis[1][i] = 0;
35                 vis[2][cur-i+n] = 0;
36                 vis[3][cur+i] = 0;
37             }
38         }
39     }
40 }
41 
42 int main()
43 {
44     scanf("%d",&n);
45     search(0);
46     printf("%d\n",tot);
47     return 0;
48 }