搜索入门练习题5 八皇后问题 题解

Posted 2022-09-26 zifeiynoip

题目来源：《信息学奥赛一本通》例5.4

题目描述

要在国际象棋棋盘（\(8 \times 8\) 的棋盘）中放 \(8\) 个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃。（提示：皇后能吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。）

输出格式

输出一个整数，用于表示八皇后问题的放置方案。

题目分析

首先我们用 \((x,y)\) 来表示棋盘上第 \(x\) 行第 \(y\) 列的格子的坐标。
那么，两个皇后 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 会互相攻击当且仅当满足如下条件之一：

• 在同一行：\(x_1 = x_2\)
• 在同一列：\(y_1 = y_2\)
• 在同一对角线：\(x_1-x_2=y_1-y_2\) 或 \(x_1-x_2=y_2-y_1\) ，化简一下就是坐标差的绝对值相等，即： \(\vert x_1-x_2 \vert = \vert y_1-y_2 \vert\)

我们可以用深度优先搜索来解决这道题。
我们可以发现的是，要想在 \(8 \times 8\) 的棋盘上放置 \(8\) 个皇后，每一行都必须且只能放置一个皇后，所以我开一个数组 ans[] ，ans[id] 用于表示在第 id 行放置的皇后的列号。
然后我开一个函数 f(id) ，用于表示：当前正准备在第 id 行放置一个皇后。然后我从 \(1\) 到 \(8\) 去遍历列号 \(i\) ，如果 \((id,i)\) 能放，则我尝试性地在 \((id,i)\) 位置放上皇后，然后递归调用 f(id+1) ， 直到 id>8 （说明找到了一种放置方案）为止。
那么，我怎么去判断 \((id,i)\) 这个位置能否放置一个皇后呢？我们搜索的顺序是从第 \(1\) 行一直到第 \(8\) 行的，所以当我要放置第 \(id\) 行的皇后的时候，肯定已经在第 \(1\) 到 \(id-1\) 行放置好了前 \(id-1\) 个皇后。所以我只需要从 \(1\) 到 \(id-1\) 去遍历行号 \(j\) ，比较一下第 \(j\) 行放置的皇后 \((j,ans[j])\) 和我现在想要放的皇后 \((id,i)\) 是否会相会攻击即可。
如果这 \(id-1\) 个皇后都和 \((id,i)\) 位置没有冲突，则说明 \((id,i)\) 这个位置是可以放的，那我尝试性地在 \((id,i)\) 位置放上皇后，并递归地进行下一步搜索 f(id+1) 。
实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans[9], cnt; // ans[i]用于记录第i行皇后列号,cnt用于记录方案数
// attack函数用于判断(x1,y1)和(x2,y2)两个点是否会互相攻击
// 返回true：会互相攻击到；返回false：不会互相攻击到
bool attack(int x1, int y1, int x2, int y2) 
    return x1==x2||y1==y2||abs(x1-x2)==abs(y1-y2);

// f函数用于在第id行尝试性地放一个i，然后递归地去id+1行放
void f(int id) 
    if (id > 8)    // 说明前8行已经放好了
        cnt ++;     // 找到一个方案,cnt++
        return;     // 程序可直接返回
    
    for (int i = 1; i <= 8; i ++)  // 尝试在第id行第i列放皇后
        bool flag = true;   // flag用于标识是否能放
        for (int j = 1; j < id; j ++) 
            if (attack(id, i, j, ans[j]))  // (id,i)和(j,ans[j])冲突
                flag = false;              // 将flag设为false标识不能放
                break;
            
        
        if (flag)  // 如果循环结束flag仍为true说明i能放
            ans[id] = i;    // 能放就先放上
            f(id+1);        // 然后递归进行下一行的放置
        
    

int main() 
    f(1);   // 从第1行开始放
    cout << cnt << endl;    // 输出方案数
    return 0;