桐桐的数学游戏（N皇后）

Posted 2021-02-16 2006hanziwei

题目描述

相信大家都听过经典的“八皇后”问题吧？这个游戏要求在一个8×8的棋盘上放置8个皇后，使8个皇后互相不攻击（攻击的含义是有两个皇后在同一行或同一列或同一对角线上）。

桐桐对这个游戏很感兴趣，也很快解决了这个问题。可是，他想为自己增加一点难度，于是他想求出n皇后的解的情况。

你能帮助她吗？

输入输出格式

输入格式：

一行，仅有一个数n（1≤n≤14），表示为n皇后问题。

输出格式：

输出仅有一个数，表示n皇后时问题的解法总数。

输入输出样例

输入样例：

8

输出样例：

92
思路：
从第一行开始放置每一个皇后，并标记所在的列和对角线。

初始代码：

//程序名:新的C++程序
//作者: 

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>

using namespace std;
int n,b[301],c[105],d[301],t;
void ch(int j,int i,int s)
{
	b[i]=j;
	c[i+s]=j;
	d[i-s+n-1]=j;
}
void dfs(int s)
{
	if(s==n+1){t++;return;}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!b[i]&&!c[i+s]&&!d[i-s+n-1])
		{
			ch(1,i,s);
			dfs(s+1);
			ch(0,i,s);
		}
	}
}
int main()
{
    cin>>n;
	dfs(1);
	cout<<t;

    return 0;
}

发现当n=14时，用时超过1秒。
可以利用放置方法的对称性解决问题。
解决方案：

1.当n为偶数时，第一个皇后只放在左侧，最后再把结果乘2.

//程序名:新的C++程序
//作者: 

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<ctime>

using namespace std;
int n,a[105],b[301],c[105],d[301],t,m;
void dfs(int s)
{
	if(s==n+1){t++;return;}
	if(n%2==0)
	if(s==1)
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(!b[i]&&!c[i+s]&&!d[i-s+n-1])
		{
			a[s]=i;
			b[i]=1;
			c[i+s]=1;
			d[i-s+n-1]=1;
			dfs(s+1);
			b[i]=0;
			c[i+s]=0;
			d[i-s+n-1]=0;
		}
	}
	else
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!b[i]&&!c[i+s]&&!d[i-s+n-1])
		{
			a[s]=i;
			b[i]=1;
			c[i+s]=1;
			d[i-s+n-1]=1;
			dfs(s+1);
			b[i]=0;
			c[i+s]=0;
			d[i-s+n-1]=0;
		}
	}
	else
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!b[i]&&!c[i+s]&&!d[i-s+n-1])
		{
			a[s]=i;
			b[i]=1;
			c[i+s]=1;
			d[i-s+n-1]=1;
			dfs(s+1);
			b[i]=0;
			c[i+s]=0;
			d[i-s+n-1]=0;
		}
	}
}
int main()
{
    cin>>n;
	m=n/2;
	dfs(1);
	if(n%2==1)cout<<t;
	else cout<<t*2;

    return 0;
}

2.当n为偶数时，第一个皇后只放在左侧，反之第一个皇后放在左侧及中线，第二个放在其左边。最后再把结果乘2.

//程序名:新的C++程序
//作者: 

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<ctime>

using namespace std;
int n,a[105],b[301],c[105],d[301],t;
void dfs(int s,int k)
{
	if(s==n+1){t++;return;}
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		if(!b[i]&&!c[i+s]&&!d[i-s+n-1])
		{
			a[s]=i;
			b[i]=1;
			c[i+s]=1;
			d[i-s+n-1]=1;
			if(n%2==1&&a[1]==(n+1)/2&&s==1)dfs(2,(n+1)/2-1);
			else dfs(s+1,n);
			b[i]=0;
			c[i+s]=0;
			d[i-s+n-1]=0;
		}
	}
}
int main()
{
    cin>>n;
	dfs(1,(n+1)/2);
	cout<<t*2;

    return 0;
}