矩阵的SVD分解

Posted 2023-03-21

参考技术A 矩阵的奇异值分解在最优化问题、统计学方面等等起到了很大的作用。写这篇文章的原因主要是最近在复习《矩阵论》，感觉书中写的奇异值分解还是很详细的，所以就有想将它写下来的欲望。在介绍奇异值分解之前，首先得知道矩阵的正交对角分解。

有推论可得存在一个n阶实对称矩阵 ，则存在正交矩阵 ，使得

以上成立的条件是 是实对称矩阵，但对于实的非对称矩阵 ，不再有上式的分解，所以就有了下面的正交对角分解。

定理：   设 可逆，则存在正交矩阵 和 ，使得

其中 。

上式是一个比较简单的证明，试想 不是一个实对称矩阵，那么就得把它变成一个实对称矩阵，能想到的就是 ，可以得到它是一个实对称矩阵，那么得到

其中 的特征值 都是大于0的，因为 ， 是一个对称正定矩阵，令：

，

得到 ，两边同时左乘 得到 ，两边再右乘 ，得到 ，

令 ，可知它是一个正交矩阵，所以就可以得到 。

由于在实际过程中，矩阵的行和列往往是不相等的，而且矩阵的逆也不一定都存在，所以，这就需要奇异值分解了。

设 ， 的特征值为（r为A的秩）

则称 为 的奇异值。

  设 ，则存在m阶酉矩阵（相当于复数域上的正交矩阵）U和n阶酉矩阵V，使得

其中 。

证：   根据矩阵的正交对角分解，可以得到 ，两边同时左乘以V，并将V分解为 ， 所以可以写成

将前面的式子两边左乘 ，再左乘 得到 ，可以设 ，则 ，即 的r个列向量是两两正交的单位向量， ，将其扩充到 的标准正交基，就是增加向量 ，则

于是可得

所以

由上面的证明可以看出SVD分解并不是唯一的。

根据对矩阵A进行SVD分解，记U和V的列向量分别为 和 ，可以得到

第一个式子表示矩阵A的零空间是由 的列向量张成的空间，可以证明：

上式经常用于求解齐次线性方程组 ，根据它的零空间，可以得到x的值就是 列向量的线性组合

第二个式子表示矩阵A的值域是 ，可证：

所以两者的值域是一样的。

《矩阵论》张凯院、徐仲