LeetCode(96): 不同的二叉搜索树

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了LeetCode(96): 不同的二叉搜索树相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

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题目描述:

给定一个整数 n,求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \\       /     /      / \\      \\
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \\                 \\
   2     1         2                 3

解题思路:

这道题实际上是 Catalan Number卡塔兰数的一个例子,如果对卡塔兰数不熟悉的童鞋可能真不太好做。先来看当 n = 1的情况,只能形成唯一的一棵二叉搜索树,n分别为1,2,3的情况如下所示:

 

复制代码
                    1                        n = 1

                2        1                   n = 2
               /          \\
              1            2
  
   1         3     3      2      1           n = 3
    \\       /     /      / \\      \\
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \\                 \\
   2     1         2                 3
复制代码

 

就跟斐波那契数列一样,我们把n = 0 时赋为1,因为空树也算一种二叉搜索树,那么n = 1时的情况可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数,左右字数都是空树,所以1乘1还是1。那么n = 2时,由于1和2都可以为跟,分别算出来,再把它们加起来即可。n = 2的情况可由下面式子算出:

dp[2] =  dp[0] * dp[1]   (1为根的情况)

    + dp[1] * dp[0]    (2为根的情况)

同理可写出 n = 3 的计算方法:

dp[3] =  dp[0] * dp[2]   (1为根的情况)

    + dp[1] * dp[1]    (2为根的情况)

      + dp[2] * dp[0]    (3为根的情况)

由此可以得出卡塔兰数列的递推式为:

C_0 = 1 \\quad \\mbox{and} \\quad C_{n+1}=\\sum_{i=0}^{n}C_i\\,C_{n-i}\\quad\\mbox{for }n\\ge 0.

我们根据以上的分析,可以写出代码如下:

C++解法一:

我们根据以上的分析,可以写出代码如下:

复制代码
class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
复制代码

 

 

以上是关于LeetCode(96): 不同的二叉搜索树的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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