LeetCode(96): 不同的二叉搜索树
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题目描述:
给定一个整数 n,求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?
示例:
输入: 3 输出: 5 解释: 给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树: 1 3 3 2 1 \\ / / / \\ \\ 3 2 1 1 3 2 / / \\ \\ 2 1 2 3
解题思路:
这道题实际上是 Catalan Number卡塔兰数的一个例子,如果对卡塔兰数不熟悉的童鞋可能真不太好做。先来看当 n = 1的情况,只能形成唯一的一棵二叉搜索树,n分别为1,2,3的情况如下所示:
1 n = 1 2 1 n = 2 / \\ 1 2 1 3 3 2 1 n = 3 \\ / / / \\ \\ 3 2 1 1 3 2 / / \\ \\ 2 1 2 3
就跟斐波那契数列一样,我们把n = 0 时赋为1,因为空树也算一种二叉搜索树,那么n = 1时的情况可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数,左右字数都是空树,所以1乘1还是1。那么n = 2时,由于1和2都可以为跟,分别算出来,再把它们加起来即可。n = 2的情况可由下面式子算出:
dp[2] = dp[0] * dp[1] (1为根的情况)
+ dp[1] * dp[0] (2为根的情况)
同理可写出 n = 3 的计算方法:
dp[3] = dp[0] * dp[2] (1为根的情况)
+ dp[1] * dp[1] (2为根的情况)
+ dp[2] * dp[0] (3为根的情况)
由此可以得出卡塔兰数列的递推式为:
我们根据以上的分析,可以写出代码如下:
C++解法一:
我们根据以上的分析,可以写出代码如下:
class Solution { public: int numTrees(int n) { vector<int> dp(n + 1, 0); dp[0] = 1; dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { for (int j = 0; j < i; ++j) { dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1]; } } return dp[n]; } };
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