LeetCode 96.不同的二叉搜索树

Posted 2021-09-04 ZSYL

LeetCode 96.不同的二叉搜索树

• 题目描述
• 动态规划
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  • Python
• 数学
• • Java
  • Python
• 机灵鬼

题目描述

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例：

输入：n = 3
输出：5

动态规划

思路
给定一个有序序列 1⋯n，为了构建出一棵二叉搜索树，我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，将 1⋯(i−1) 序列作为左子树，将 (i+1)⋯n 序列作为右子树。接着我们可以按照同样的方式递归构建左子树和右子树。

在上述构建的过程中，由于根的值不同，因此我们能保证每棵二叉搜索树是唯一的。

由此可见，原问题可以分解成规模较小的两个子问题，且子问题的解可以复用。因此，我们可以想到使用动态规划来求解本题。

算法

题目要求是计算不同二叉搜索树的个数。为此，我们可以定义两个函数：

1. G(n): 长度为 n 的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。

2. F(i,n): 以 i 为根、序列长度为 n 的不同二叉搜索树个数 (1≤i≤n)。

可见，G(n) 是我们求解需要的函数。

稍后我们将看到，G(n) 可以从 F(i,n) 得到，而 F(i,n) 又会递归地依赖于 G(n)。

首先，根据上一节中的思路，不同的二叉搜索树的总数 G(n)，是对遍历所有 i (1≤i≤n) 的 F(i,n) 之和。换言之：

对于边界情况，当序列长度为 1（只有根）或为 0（空树）时，只有一种情况，即：

给定序列 1⋯n，我们选择数字 i 作为根，则根为 i 的所有二叉搜索树的集合是左子树集合和右子树集合的笛卡尔积，对于笛卡尔积中的每个元素，加上根节点之后形成完整的二叉搜索树，如下图所示：

Java

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] G = new int[n + 1];
        G[0] = 1;
        G[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
            }
        }
        return G[n];
    }
}

Python

class Solution:
    def numTrees(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        G = [0]*(n+1)
        G[0], G[1] = 1, 1

        for i in range(2, n+1):
            for j in range(1, i+1):
                G[i] += G[j-1] * G[i-j]

        return G[n]

复杂度分析

• 时间复杂度 : $O(n^2)$，其中 n 表示二叉搜索树的节点个数。G(n) 函数一共有 n 个值需要求解，每次求解需要 O(n) 的时间复杂度，因此总时间复杂度为 $O(n^2)$.
• 空间复杂度 : O(n)。我们需要 O(n) 的空间存储 G 数组。

数学

思路与算法

Java

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        // 提示：我们在这里需要用 long 类型防止计算过程中的溢出
        long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int) C;
    }
}

Python

class Solution(object):
    def numTrees(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        C = 1
        for i in range(0, n):
            C = C * 2*(2*i+1)/(i+2)
        return int(C)

复杂度分析

• 时间复杂度 : O(n)，其中 n 表示二叉搜索树的节点个数。我们只需要循环遍历一次即可。
• 空间复杂度 : O(1)。我们只需要常数空间存放若干变量。

机灵鬼

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        switch(n){
            case 1: return 1;
            case 2: return 2;
            case 3: return 5;
            case 4: return 14;
            case 5: return 42;
            case 6: return 132;
            case 7: return 429;
            case 8: return 1430;
            case 9: return 4862;
            case 10: return 16796;
            case 11: return 58786;
            case 12: return 208012;
            case 13: return 742900;
            case 14: return 2674440;
            case 15: return 9694845;
            case 16: return 35357670;
            case 17: return 129644790;
            case 18: return 477638700;
            case 19: return 1767263190;
            default: return 0;
        }
    }
};

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