证明：有理数是可数的，而实数是不可数的。

Posted 2023-04-11

晕~楼上那些自己不懂也敢误导人……贴个我以前的回答吧。

自然数到有理数有一一对应，所以是可数的。关键是构造正整数到(0,1)之间有理数的一一对应，之后就好办了。下面来看这个对应：把(0,1)之间所有有理数写成的既约分数，排列成：1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，2/5，3/5，4/5……排的规则是分母小的在前，分母一样的，分子小的在前。任意正整数k, k对应到上面排法中的第k个分数。由于任意给定的有理数化为既约分数的方法唯一确定，它在上面排法中的位置也是可以确定的(从头一个个排就好了)，因此这个对应是一一对应。

自然数到实数不能建立一一对应，所以不可数。这个证法很多，说起来最简单的可能是Cantor的证明，其中用到了经典的对角线方法！兹证如下：假设能建立上述一一对应，(0,1]内的实数必然可以依某种顺序排成一列，记作a1,a2,…an。把它们化为十进制小数，有限小数一定要用那种无限的表达(这是为了保证化为无限小数方法的唯一性)，比如1要写为0.999…0.1要写为0.0999…. 现在取一个(0,1]内的十进制小数a, 使得a的小数点后第n位不是0，且与an的小数点后第n位不相同。这样构造出来的a属于(0,1]，但a不是上述an中的任何一个(因为它与an的第n位不同，而且an小数点后每一位都不是0，不会出现0.1000…=0.0999…这种情况)，这就导致矛盾！所以自然数到实数不能建立一一对应。

这些内容都可参看一般的《实变函数》课程教材。

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/261699103.html

参考技术A 都是不可数的，有理数可以无限大或无限小。而实数包括有理数和无理数，所以更是不可数的！
我第一个回答哦。 参考技术B 这个题目的本身就是表述不对的。 参考技术C 德罗依弗正解

caffeine是可数还是不可数

是不可数
caffeine

英[ˈkæfi:n] 美[kæˈfin, ˈkæfˌin, ˈkæfiɪn]
n. 咖啡碱; [药] 咖啡因; 茶精（兴奋剂）;
[例句]Caffeine can cause palpitations and headaches.
咖啡因会引起心悸和头痛。 参考技术A 是不可数的。 参考技术B 不可数 参考技术C n. [有化][药] 咖啡因；茶精（兴奋剂）

不可数名词