如何证明所有两个参数函数的集合不可数

Posted 2023-02-25

【中文标题】如何证明所有两个参数函数的集合不可数

【英文标题】：How to prove set of all two argument functions cannot be countable

【发布时间】：2012-04-10 00:32:02

【问题描述】：

我们可以使用康托尔的对角线证明所有单参数函数的集合是不可数的。 例如

     1    2    3    4    5    6    7 ......

f1   10   12   23   1    3    12   3 ......    
f2   15    6    7   8    9    11   4 ...... 
f3   14    2    4   3    3     4   5 ...... 
f4   12    2    3   5    1    20   56 .....   
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对于所有函数 f1 到 fn，我们可以将所有参数传递给一些 n，并将 1 传递到 n。然后通过取对角线值并将对角线值加 1，我们可以证明我们不能计算所有一个参数函数。（因为更改对角线值将产生一个唯一的未列出的行）

想知道是否有一种特殊的方法也可以计算两个参数函数？?..

谢谢..

【参考方案1】：

想知道有没有一种特殊的方法也可以计算两个参数函数？?..

你的意思是想知道有没有一种特殊的方法来计算两个参数函数？（“也”意味着一个参数函数存在）。

如果不可数集合的子集也总是不可数的，那么您可以只使用所有双参数函数的集合的子集，其中将第二个参数固定为常数（使其本质上等于一个 -参数函数）。但是我怀疑这个假设是否正确。

我认为您遗漏了有关图表的一些重要先决条件（如何构造 fn，因为它们不是任意选择的）。也许检查它们会引导你找到线索？我想这是一个家庭作业问题？是否允许在 *** 上发布家庭作业问题并在您的大学中让其他人解决这些问题？

【讨论】：

这不是任何家庭作业问题。我问它只是出于好奇。在“George S. Boolos_ John P. Burgess_ Richard C. Jeffrey - Computability and Logic”一书中。他们解释说，所有正整数的集合都不能使用康托尔的对角线来数。这是一个很好的观点，您使用第二个参数作为常量值..

【参考方案2】：

我想我找到了答案。如果有人感兴趣，我正在写答案。

我们可以证明所有正整数对都是可数的。见下文

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6).....
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6).....
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6).....
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6).....
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所以从康托尔的曲折中，我们可以证明它们是可数的.. 参见本书第 8 页http://www.scribd.com/doc/51068193/3/Enumerable-Sets

(1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) ....

所以我们可以将我们的问题写成如下。

    (1,1)   (1,2)   (2,1)   (1,3)   (2,2)   (3,1)

f1   10      12       23       1      3       12    ......    
f2   15       6        7       8      9       11    ...... 
f3   14       2        4       3      3        4    ...... 
f4   12       2        3       5      1       20    ......   
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现在根据康托尔对角线的知识..我们可以说所有两个参数函数都不能是可数的。

【讨论】：

这太复杂了。您可以将一个参数函数简单地注入两个参数函数。如果后者是可数的，那么前者也是。