离散数学期中复习——经典证明合集

Posted 2023-04-13 藤君的小窝

1.实数集不可数.

2.\\(Z^+\\)的幂集和\\(\\mathbbR\\)等势.

3.\\(|A|\\lt|P(A)|\\).（康托定理）

4.\\((0,1),[0,1],\\mathbbR\\)等势.

首先证明(0,1)和[0,1]等势
By the Schröder-Bernstein theorem,
it suffices to find one-to-one functions f : (0, 1)→[0, 1]
and g : [0, 1] → (0, 1). Let f (x) = x and g(x) = (x +1)/3.
然后证明(0,1)和R等势

离散数学期末不挂科复习笔记

【离散数学】期末不挂科复习笔记

和蜂考学的，重要的应该是逻辑和函数这两大板块，图和树就与数据结构挂钩了（大部分都是之前学过的），重点看看各种逻辑的等值演算还有推理！

第一章（命题逻辑的基本概念)

1、命题的概念

如何判断是否是命题：

例题1：

2、命题连接词

①否定（可以理解为非）

②合取（可以理解成交）

③析取（可以理解为并）

④蕴含（可以理解为非p并q）

⑤等价（可以理解为相等）

优先级：

例题1:

3、命题公式及其赋值

成真赋值就是让p蕴含q的值为1，这种情况下p和q的赋值

成假赋值就是让p蕴含q的值为0，这种情况下p和q的赋值

例题1：

我们可以看出图上的式子是可满足式**（注意永真式也是可满足式）**

第二章（命题逻辑等值演算）

1、等值式

常见等值式：（结合数字电路知识点学习~）

重点是(12)，蕴含等值式

例题1：

例题2：

需要注意的是，用等值演算不能直接证明两个公式不等值

例题3：（证明两个公式不等值）

2、析取范式与合取范式

例题1:

例题2：

3、主析取范式与主合取范式

极小项与极大项的概念：

第一张表：

那么什么是主析取范式和主合取范式呢？

例题1：

这里使用的是真值表法

例题2：

引入一个前提：

例题3：

这里使用等值演算法

4、联结词的完备集

最小的联结词完备集就是图上的S4和S5，一定要有非

例题：

第三章（命题逻辑的推理理论)

1、推理的相关公式

推理定义：单项箭头（双向就是等值式了）

明确一点，放在左边的是前提，放在右边的是结论

判断推理正确

推理形式

非常多的推理公式（推理题型的基础)

标黄的是重点

例题1:

例题2:

2、自然推理系统P

例题1:

例题2：

例题3：

附加前提法

例题4:

这里使用了归谬法，可以多引入一个否定的结论

第四章（谓词逻辑基本概念）

1、谓词逻辑命题符号化

谓词逻辑命题符号化的三个基本要素：个体词、谓词、量词（任意、存在）

例题1:

考察谓词

例题2、例题3：

考察量词

例题4、例题5:

考察符号化

2、谓词逻辑公式及其解释

指导变元、辖域、约束出现、自由出现

例题1:

解1、解2：

给出永真式、永假式、可满足式的定义

注意：当多个量词出现的时候，他们的顺序不能随便调换（存在任意和任意存在是不等价的）

例题2：

第五章（谓词逻辑等值演算与推理)

1、谓词逻辑等值式与置换规则

下面给出谓词逻辑中的基本等值式

（1）量词否定等值式

（2）量词辖域收缩与扩张等值式

（3）量词分配等值式

注意：任意和合取一起、存在和析取一起可以双向，反之只能单向

（4）命题逻辑中的重言式的代换都是谓词逻辑中的永真式

例题1：

如果同时出现存在、任意，先消去后面的，从里向外

例题2：

例题3：

2、谓词逻辑前束范式

什么是前束范式？就是所有的存在量词、全称量词写在最前面

谓词逻辑中的任何公式都存在等值的前束范式！

例题1:

例题2：

3、谓词逻辑的推理理论

相关公式：

①命题逻辑推理定律的代换实例

②由基本等值式生成的推理实例

③一些常用的重要推理定律

④4条消去量词和引入量词的规则

例题1：

推理证明（我们写的时候可以通过消去和引入的方法来忽视量词，最后推导出来再写上）

注意，存在量词的消去一定要在全程量词的消去之前（图中第②步和第⑥步）

例题2：

结论中有蕴含，那么可以附加蕴含式的左边为附加前提

例题3：

自然语言谓词逻辑推理证明

先进行命题符号化

再使用归谬法获得一个额外的前提

第六章（集合代数）

1、集合的基本概念

∈ 符号的概念

子集、真子集、x元子集的概念

空集的概念

幂集的概念P(A)，幂集有2的n次方个元素

全集的概念

例题1：

例题2：

2、集合的运算

最基本的交并补

对称差集（并的减交的）、绝对补集（全集减去自己）、广义并（自己的元素相并）、广义交（自己的元素相交）

例题1:

例题2:

3、有穷集的计数

自然语言转化为符号语言

然后画图！

例题：

先画图：

然后根据设出来的值进行补充图像：

接着列方程：

解方程：

包含排斥原理：

发现和概率论中的：**P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)**是一样的！连在一起记忆~

例题2：

4、集合恒等式

就是概率论中的知识点咯

需要记住一个 A - B = A ∩ ~B，其实也很好理解

重要公式：

例题1：

第七章（二元关系1）

1、有序对、笛卡尔积

有序对的第一元素x、第二元素y

例题1:

笛卡尔积不满足交换律

笛卡尔积的元素个数：

笛卡尔积只满足对并、交的分配律运算

2、二元关系

如果一个集合满足下面条件之一就是二元关系：

• 集合非空，并且它的元素都是有序对
• 集合是空集

A,B是集合，那么A×B的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系

A上有2的n的平方次方个不同的二元关系

例题1：

例题2：

A上的特殊关系：空关系、全域关系EA、恒等关系IA

表示集合的方法（三种）：集合表达式、关系矩阵、关系图

例题1:

例题2：

3、关系的运算

设R为二元关系，那么有

1. 定义域：R中所有有序对的第一元素构成的集合，记作domR
2. 值域：R中所有有序对的第二元素构成的集合，记作ranR
3. 域：R中定义域和值域的并集，记作fldR
4. R的逆关系：简称R的逆，记作R的-1次方
5. 设F、G为二元关系，G对F的右复合记作FoG

例题1: (域关系)

例题2：（右复合)

第八章（二元关系2)

1、关系的性质

自反、反自反（所有的有序对都不满足自反）

对称、反对称（所有的有序对都不满足对称）

传递（例如：**R=<1,2><2,3><1,3>**在一个集合中，那么这个集合具有传递性）

例题1：

反对称是因为，R和R-1向交得到的是空集，空集是IA的子集，有反对称性

例题2：

例题3:(关系图)

例题4:(关系矩阵)

2、关系的闭包

自反（对称、传递）闭包概念

例题1：

原集合本来就是具有传递性的，所以传递闭包就是它自己

3、等价关系与划分

等价的概念：设R是非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的，那么称R为A上的等价关系

例题1：（等价类的例子）

引入商集的概念

划分的概念（pai是P(A)幂集的子集）

简单来说就是，广义并(但不能有交集)是原集合就是一个划分

例题2：（判断划分)

例题3:

有多少种划分，就有多少种等价关系

例题4：

4、偏序关系

如果集合A中的关系R是自反的、反对称的、传递的，那么R是A上的偏序关系

例题1：（哈斯图）

如何画哈斯图？

在这里引入——最大元和最小元的判定：

上一个例题中的解释：

之所以没有最小元是因为在哈斯图同一个阶层的点是不可比的，就没有同阶的最大元和最小元之说~

接下来引入——极大元和极小元的概念解释。

仍然是拿上一个例题出来解释：

需要注意的是，在极小元和极大元的判定中即使在同一阶层也可以相比，没有不可比的概念。

哈斯图中的孤立顶点不仅是极小元也是极大元

接下来引入——上界和上确界的概念：

还是那个例子

接下来引入——下界和下确界的概念：（和上界的概念是类似的）

上界、上确界、下界、下确界是不一定存在的！

第九章（函数）

1、函数的定义与性质

1. x是F定义域中的元素，y是F值域中的元素

例题1：（判断函数）

简单的对应关系

2. f:A->B 是 从A到B的函数

3. 满射、单射、双射（看图理解）

4. 满射、单射、双射的必要条件（还是很好理解）

例题2:

例题3：

2、函数的复合与反函数

定义如下：

例题1：

复合运算具有结合律

为什么fx在gx里面，其实也很好理解，首先是进行f到g的右复合，那么肯定是首先算括号里的fx，再算gx，所以是如上的形式。

例题2：

接下来引入反函数的概念：（就是数学中的那套）

之所以没有反函数，是因为反过来存在x对应多个y，不满足函数的定义

第十章（图)

1、图

无向图、有向图、图的阶（n个顶点的图称作n阶图）、零图、平凡图

图 G=<V,E>，V是点集，E是边集

端点、关联、相邻

图的度数（顶点作为边的端点的次数）

入度（顶点作为边的始点）d+(v)、出度（顶点作为边的终点）d-(v)

度数 = 入度 + 出度

握手定理：

• 任何无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的两倍

• 任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的两倍

  所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，都等于边数

• 推论：任何图中，奇度顶点的个数是偶数个

例题1：

例题2：（度序列）

例题3：（可图化充要条件是度数之和为偶数）

例题4：（简单可图化的充要条件加上了，最大度≤顶点数-1）

无向完全图就是每个顶点对应其余的n-1个顶点相邻

n阶无向完全图边的条数为n(n-1)/2

例题5:

2、通路与回路

通路：无向图中顶点和边的交替序列

回路：交替序列的第一个顶点和最后一个顶点相同

3、图的连通性

1. 连通的概念：如果无向图中2个顶点之间存在通路，那么这两个点就是连通的

   连通图的概念：无向图中任意两个顶点都是连通的（或者无向图G是平凡图）

2. 可达的概念：有向图中2个顶点u、v存在通路，那么u到v是可达的

   如果u、v存在通路，v、u也存在通路，那么是互相可达

3. 强连通、单项连通、弱连通

例题1:

4、图的矩阵表示

无向图的关联矩阵的定义：

例题1：（无向图的关联矩阵）

有向图的关联矩阵的定义：

例题2：(有向图的关联矩阵)

有向图的邻接矩阵的定义：（顶点到顶点的关系）

例题3：

如何判断通路条数和回路条数?

可达矩阵：（一个点是否可以到另一个点）

可达矩阵的主对角线的元素全是1

第十一章（欧拉图与哈密顿图）

1、欧拉图

各种概念解释：

欧拉通路：通过图中所有边且仅一次的通路

回路同上一样的定义

欧拉图就是具有欧拉回路的图（强调边的关系）

半欧拉图就是仅仅具有欧拉通路但是没有欧拉回路的图

无向图是欧拉图的充要条件——G是连通图且没有奇度顶点

有向图是欧拉图的充要条件是——D是强连通图并且每个顶点入度等于出度

例题1：（欧拉图是和边的关系）

例题2：

例题3：（判断欧拉图）

一个图中如果出现奇度顶点，那么一定不是欧拉图

附带一个可能会用到的欧拉公式：

2、哈密顿图

1. 哈密顿通路：经过图中所有的顶点一次且仅一次的通路
2. 哈密顿回路：经过图中所有的顶点一次且仅一次的通路
3. 哈密顿图：具有哈密顿回路的图（强调点的关系）
4. 半哈密顿图：具有哈密顿通路但是没有哈密顿回路的图
5. 没有简单的充要条件
6. 充分条件，有（度数）d(u)+d(v)>= n-1，则存在哈密顿通路
7. 有d(u)+d(v)>= n，则存在哈密顿回路

例题1：

例题2：