离散数学知识点整理

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离散数学

数学语言与证明方法

集合

  • 幂集

  • 运算

    • 交集
    • 并集
    • 相对补集
    • 绝对补集
    • 对称差集
  • 运算律

    • 交换律
    • 结合律
    • 分配律
    • 德摩根律
  • 恒等式

证明方法

  • 直接证明
  • 归谬法
  • 分情况证明
  • 构造性证明
  • 数学归纳法

命题逻辑

命题

  • 简单命题p,q,r

  • 复合命题

    • 基本复合命题

      • 五种
    • 复杂复合命题

  • 真值

    • 真命题
    • 假命题
  • 命题符号化

联结词

  • 否定联结词(lnot)

    • 否定式
  • 合取联结词(land)

    • 合取式
  • 析取联结词(lor)

    • 析取式

      • 相容或(plor q)
      • 排斥或((lnot pland q)lor(pland lnot q))
  • 蕴含联结词

    • 蕴含式

      • p->q

        • 真值

          • p真q假,p->q为真
          • 其他全为真
      • 前件p

      • 后件q

  • 等价联结词

    • 等价式

      • p<->q

        • 真值

          • p,q真值相同,p<->q为真
          • 不同为假
      • ‘当且仅当’

公式

  • 命题

    • 常项

      • p,q,r为定值
    • 变项

      • p,q,r为变量
  • 合式公式/命题公式

    • A,B,C,D

      • 永真式

        • 重言式
      • 永假式

        • 矛盾式
      • 可满足式

  • 赋值/解释

    • 成真赋值
    • 成假赋值
  • 等值演算

    • A<->B,则A<=>B

      • 等价式为重言式
    • 常用等值公式

      • 蕴含等值式 (A ightarrow BLeftrightarrowlnot Alor B)
      • 德摩根律 (lnot (Alor B)Leftrightarrow lnot A land lnot B)

联结词集

  • 优先顺序

  • 扩展

    • 与非联结词

      • (puparrow qLeftrightarrow lnot(pland q))
    • 或非联结词

      • (pdownarrow qLeftrightarrow lnot(plor q))
  • 联结词完备集

    • (1)(S={lnot,land,lor})
    • (2)(S={uparrow})
    • (3)(S={downarrow})

范式

  • 分类

    • 析取范式

      • 主析取范式

        • 极大项
    • 合取范式

      • 主合取范式

        • 极小项
  • 计算

推理

  • 概念

    • 蕴含式为重言式

      • (Rightarrow)
  • 形式结构

    • ((A_1land A_2 land ...land A_k)Rightarrow B)

      • 前提
      • 结论
  • 证明

    • 推理规则

      • 前提引入

      • 结论引入

      • 置换规则

        • 等值置换

          • (ALeftrightarrow B:ARightarrow B;BRightarrow A)
      • 推理定律

        • 技术图片
    • 特殊证明方法

      • 附加前提证明法

        • ((A_1land A_2 land ...land A_k)Rightarrow A ightarrow B)
        • ((A_1land A_2 land ...land A_k land A)Rightarrow B)
      • 归结证明法

        • 归结规则

          • ((Llor C_1)land (lnot Llor C_2)Rightarrow C_1lor C_2)
        • 基本思想

          • 归谬法
        • 证明步骤

          • 结论的否定引入前提
          • 把所有前提化成合取范式,并将简单析取式作为单个前提
          • 归结规则进行推理
          • 推出0则推理正确

一阶逻辑

表达个体与总体之间的内在联系与数量关系

概念

  • 个体词

    • 个体常项

      • a,b,c....
    • 个体变项

      • 个体域
      • x,y,z....
  • 谓词

    • 谓词常项

      • 表示具体性质或关系
      • 子主题 2
    • 谓词变项

      • 表示抽象性质或关系
      • F,G....
    • 0元谓词

      • 不带个体变项的谓词
      • 当谓词为谓词常项时为命题
  • 量词

    • 全称量词
    • 存在量词

符号化

  • 不同个体域形式可能不同
  • 引入特性谓词

公式

  • 分类

    • 原子公式

    • 合式公式/谓词公式

    • 闭式

      • A中不含自由出现的个体变项
  • 概念

    • x:指导变元
    • A:辖域
    • x在A中约束出现
    • A中出现的除x所有其他个体变项都为自由出现
  • 解释/赋值

    • 定义

    • 封闭的公式在任何解释下都变成命题

    • 分类

      • 永真式/逻辑有效式

        • A在任何解释和任何赋值下均为真
      • 永假式/矛盾式

        • A在任何解释和任何赋值下均为假
      • 可满足式

        • 至少存在一个解释和一个赋值使A为真
    • 代换实例

      • 重言式的代换实例都是重言式
      • 矛盾式的代换实例都是矛盾式
  • 等值演算

    • 命题逻辑的代换实例

    • 等值式

      • 消去量词等值式
      • 量词否定等值式
      • 量词辖域收缩与扩张等值式
      • 量词分配等值式
    • 规则

      • 置换规则
      • 换名规则
  • 前束范式

    • 存在但不唯一
    • 利用等值演算求前束范式

技术图片

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