重温离散数学系列①之什么是证明

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了重温离散数学系列①之什么是证明相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

什么是证明

Definition(证明的定义)

A mathmatical proof of a proposition is a chain of logical deduetions leading to the proposition from a base of axioms.
译:命题的数学证明是从公理得出命题的一系列的逻辑推论。

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命题的定义

命题是真假客观存在的陈述句。

  • 可以客观准确给出真假的语句才是命题。
    比如:“有外星人”,“给我这本书”,“php是世界上最好的语言”都不是命题。
  • 真假性随时间环境变化的语句也不是命题。
    比如:“现在是五点钟”,“明天股票会涨”,“今天天气不错”都不是命题。
###历史上著名的命题
  1. 欧拉猜想(Euler‘s Conjecture) : 若a,b,c,d都是正整数,等式
    [a^4+b^4+c^4=d^4]无解。
  2. 四色定理(Four Color Theorem) :用四种颜色给地图着色,可以使每张地图相邻区域的颜色各不相同。
  3. 费马大定理(Fermat‘s Last Theorem): 当整数n>2时,(x^n+y^n=z^n)没有正整数解。
  4. 哥德巴赫猜想(Goldbach‘s Conjecture) :任意大于2的偶数都是两个质数的和。

谓词语句

definition:真假性取决于一个或多个变量的语句。如:“n是一个完全平方数”就是谓词语句,只有知道n的值,才能确定它的真假。

  • 谓词语句通常用”定义“符号: " : = "
    p(n) : = "n是一个完全平方数"。当n=4时,即p(4)命题为真;p(5)命题为假。

  • 谓词语句不是命题,因为它的真假性无法判断。
  • 要想让谓词语句变成一个命题,有两种方法:

  1. n 取值,如上述的p(4),p(5)就是命题。
  2. 量词 (?,?),如“ ?n,使得n是一个完全平方数 ”就是命题。

常见的证明方法

证明的原则:

  1. 在考虑证明的逻辑步骤时,你的草稿可以比骄混乱,但是最终的证明应当是清晰的,简明的。
  2. 证明通常以“证明”一词开始,以某种分隔符如■或“QED”结束。这些约定只是为了明确证明从哪里开始,哪里结束。

1.直接证明法

从条件(前介)直接推出结果(后介)

  • 例:如果(0leq x leq 2),则(-x^3+4x+1>0)
    证明. 假设(0leq x leq 2)。那么x,2-x,2+x都是非负的。因此有:[-x^3+4x+1=x(2-x)(2+x)+1>0]

    原命题得证。 ■

2. 证明逆反命题

一个命题的真假性和它的逆否命题一致,若要证明命题为真,只需证明它的逆否命题为真即可。

  • 例: 证明如果 r 是无理数,(sqrt{r}) 也是无理数
    证明. 我们使用逆否命题来证明,即 (sqrt{r}) 是有理数,r 也是有理数 。
    (sqrt{r}=frac{n}{m}) (其中 n,m 均为整数), 则 (sqrt{r}=frac{n^2}{m^2}). 显而易见,r 必是有理数,逆否命题得证,原命题得证。 ■

3. 证明当且仅当问题

“当且仅当”叙述时通常简写为“IFF”。语句“p IFF q ”等价于“P IMPLIES Q”以及“Q IMPLIES P”。因此,要证明IFF,我们需要证明两个蕴含。(即证明充分性和必要性)

4. 反证法

反证法,又称间接证明法。它首先假设某命题成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证。

  • 例:证明(sqrt{2})是无理数

    证明. 我们使用反证法证明,即设 (sqrt{3}) 是有理数,那么我们可以将 (sqrt{3}) 写成最简分式 (frac{n}{m})

    两边同时平方,得 (3=frac{n^2}{m^2}) ,有:(3m^2 = n^2)

    易知n是3的倍数,所以 n^2是9的倍数 。又因为 (n^2=3m^2) , 故 (3m^2) 也是 9 的倍数,即 (m^2) 为 3 的倍数,由证明可得 m 也为 3 的倍数。

    n,m 同时为 3 的倍数,故(frac{n}{m})不可能为最简分式,与条件相矛盾 ,故 √ 3 是无理数。

    原命题得证。 ■

5. 分情况讨论

将复杂的证明分解成案例,然后分别证明每一个案例,这是一种常见的,很有用的证明策略。

  • 例:证明任意 6 个人中,总是 3 个人互相认识或互相不认识

    证明. 设x是六个人中的一个。我们分情况讨论:

    情况1. 剩下的5个人中至少3个和x认识

    ? 情况1.1:这些人相互都不认识对方。那么,这些人就是至少3个的陌生人组,定理成立。

    ? 情况1.2:这些人中有的见过对方。那么,这两个人和x就构成了3个认识人组,定理成立。

    情况2. 剩下的5个人中至少3个和x不认识

    ? 情况2.1:这些人相互都认识对方。那么,这些人就是至少3个的认识人组,定理成立。

    ? 情况2.2:这些人中有的不认识对方。那么,这两个和x就构成了3个陌生人组,定理成立。

    原命题得证。 ■

    一些习题

第一章习题(选做)


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以上是关于重温离散数学系列①之什么是证明的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

离散数学--1.3 证明方法概述

离散数学知识点整理

离散数学期中复习——经典证明合集

离散数学--2.4 命题逻辑推理理论

离散数学期中复习

《离散数学》——图论6.6