0 到 1 之间的实数集真的不可数无限吗？ [关闭]

Posted 2023-02-25

【中文标题】0 到 1 之间的实数集真的不可数无限吗？ [关闭]

【英文标题】：is Set of Real Numbers Between 0 and 1 really uncountably Infinite? [closed]

【发布时间】：2013-10-15 18:26:58

【问题描述】：

康托尔的可数无限和不可数无限无限集

你可能知道并且你可能已经证明了 0 到 1 之间的实数集是不可数无限的。 意味着我们不能将该集合的每个数字都映射到不同的自然数上。

我得到了一种技术，通过它我可以将 0 到 1 之间的所有实数映射到不同的自然数上。 技术很简单将小数点替换为 1 并将原始值映射到该数字上 这样 在 10003 上映射 0.0003，在 103 上映射 0.03

通过使用这种技术，我们可以将所有介于 0 和 1 之间的实数映射到自然数上。所有这些 自然数将从 1 开始，因此我们将拥有其他数字以及 No Number 将被映射到 2 或 211 或 79 所以这意味着自然数集比 0 和 1 之间的实数更重要。所以 0 和 1 之间的实数集 是可数无限的。

你的意见是什么？

【问题讨论】：

这个问题似乎跑题了，因为它是关于数学的，与编程无关

顺便说一句，您的逻辑是不正确的，因为实数可以在小数点后无限继续。以 pi-3 为例，它是一个介于 0 和 1 之间的实数 (.14159265...)。如果将小数点替换为 1 (114159265...)，它将无限大，因此不是自然数.

什么是 1333...+1？整数必须有一个定义明确且唯一的后继，所以 1333... 不是整数。

我投票结束这个问题，因为它是关于数学而不是计算机科学

我投票结束这个问题作为题外话，因为这是关于数学，没有任何与编程相关的东西。

【参考方案1】：

这不起作用，因为任意非有理实数（例如 0.5123129421...）是合法实数，但数字 15123129421... 不是。在前者的情况下，您可以指出（至少在原则上）它沿着数轴的位置，但对于后者，这是不可能的。试着说出 15123129421... 作为一个数字（比如 1022 是一千二十二）。你不能，因为这样的数字不是自然数。

【参考方案2】：

0 到 1 之间的实数集合是不可数无限的，正如您所熟悉的康托尔的对角线论证所示。

您可能会感到惊讶的是，0 到 1 之间的有理数集是可数无限的。也就是说，整数与具有有限十进制扩展的所有分数和数字之间存在一对一的对应关系。你可以找到证明here。

【讨论】：

@AyubKhan：那会有什么缺陷？

自然数的幂集肯定会比自然数更大，所以我们需要更多的自然数来映射它们。

在对角线参数中，我们定义它们直到某个点意味着如果我们将采用对角线，它将不存在，但如果我们继续移动，我们将得到那个对角线。这将继续。

可能有其他方法可以将这些数字映射到自然数上。将讨论实数后的问题。我使用不同的方法将它们映射到自然数上

您在问题中提到的技术是错误的，正如已经在 cmets 中指出的那样。充其量你已经证明了实数和 p 进整数之间的等价性。