所有图灵机的集合都是可数的，而所有无限二进制序列的集合是不可数的

Posted 2023-02-25

【中文标题】所有图灵机的集合都是可数的，而所有无限二进制序列的集合是不可数的

【英文标题】：The Set of All Turing Machines is Countable vs the set of all infinite binary sequences is uncountable

【发布时间】：2017-05-03 20:42:19

【问题描述】：

试图为期末考试而学习，却对可数性感到困惑。

我知道任何图灵机都可以描述为字符串。我们有有限数量的输入 (Σ)。我们可以计算每个长度的字符串组合。

假设有 256 个不同的输入符号。

对于字符串长度为1：256的组合。

对于长度为 2 的字符串：我们有 256^2 种组合。

对于 k 的字符串长度，我们有 256^k 个组合。

然后我们对所有这些组合进行编号。

1, 2 ... 256, 257, 258 ... 256 + 256^2 ...

由于自然数是可数的，因此存在双射映射。所以所有图灵机的集合都是可数的。

我的问题是为什么我不能对所有无限二进制序列做同样的事情？我找到每个长度的所有组合，给它们编号，然后我会得到一个双射映射。

非常感谢！

【问题讨论】：

你证明了有限二进制序列的集合是可数的。这与显示无限二进制序列集是可数的不同。

我投票结束这个问题，因为它不是一个编程问题。

【参考方案1】：

听起来你在问康托尔的对角线论证。给定一组无限序列，您可以制作一个不在该集合中的序列。

这与你不能计算无理数的论点非常相似。鉴于该集合由数字/字符串/等组成，您将始终能够制作不在集合中的数字。是无限长的。

我认为您的论点中最大的缺陷是您说“我找到了每个长度的所有组合”，但考虑到您允许字符串具有无限长度，这是不可能的。

【讨论】：

有道理！因为序列的长度是无限的。