矩阵求逆_伴随矩阵法

Posted 2023-04-03 身影王座

1、基本知识

首先展示一个$n$阶行列式：

$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+\cdots +a_{1n}{A}_{1n}$

其中,$a_{\mathrm{ij}}(\mathrm{i}=1,2,\dots ,n,\mathrm{j}=1,2,\dots ,n)$称为行列式的第$i$行, 第$j$列元素；$A_{1j}=(-1{)}^{1+j}{M}_{1j}(j=1,2,\dots ,n)$，$M_{1j}$为$D$中划掉第一行和第$j$列的所有元素后, 按原顺序排成的$n-1$阶行列式：

$M_{1j}=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{21}& \cdots & a_{2j-i}& a_{2j+1}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& \cdots & a_{3j-1}& a_{3j+1}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& \cdots & ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj-1}& a_{nj+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

称$M_{1j}$是$D$的元素$a_{1j}$的余子式, $A_{1j}$是元素$a_{1j}$的代数余子式。

由方阵A的代数余子式组成的如下形式的矩阵：

A ∗ = ( A 11 A 21 … A n 1 A 12 A 22 … A n 2 … … … … A 1 n A 2 n … A n n ) \\mathbfA^*=\\left(\\beginarraycccc \\mathbfA_11 & \\mathbfA_21 & \\ldots & \\mathbfA_\\mathrmn 1 \\\\ \\mathbfA_12 & \\mathbfA_22 & \\ldots & \\mathbfA_\\mathrmn 2 \\\\ \\ldots & \\ldots & \\ldots & \\ldots \\\\ \\mathbfA_1 n & \\mathbfA_2 n & \\ldots & \\mathbfA_\\mathrmnn \\endarray\\right) A∗= ​A11​A

线性代数_矩阵

目录

• 矩阵加法
• 矩阵减法
• 矩阵的数乘（(kcdot A)）
• 矩阵的矩乘((A cdot B))
  • 矩阵的幂运算
• 转置矩阵((A^T))
  • 正交矩阵
• 矩阵求逆((A^{-1}))
  • 伴随矩阵((A^*))
• 矩阵的秩
• 现在来看例题

矩阵加法

矩阵减法

矩阵的数乘（(kcdot A)）

矩阵的矩乘((A cdot B))

矩阵的幂运算

转置矩阵((A^T))

正交矩阵

矩阵求逆((A^{-1}))

伴随矩阵((A^*))

矩阵的秩

现在来看例题

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(例1：已知AP=PB，其中 B= left[ egin{array} {CCC} 1 & 0 &0 \ 0 &0 &0 \ 0 &0 &-1 end{array} ight ]，P= left [ egin{array} {CCC} 1 & 0 &0 \ 2 &-1 &0 \ 2 &1 &1 end{array} ight ],求A及A^5)。

解：$ AP=PB$
(A=PBP^{-1})
(求A^5,即矩阵的5次幂运算。)

>> B=[1 0 0;0 0 0;0 0 -1 ]
B =

   1   0   0
   0   0   0
   0   0  -1

>> P=[1 0 0 ;2 -1 0;2 1 1]
P =

   1   0   0
   2  -1   0
   2   1   1

>>  A=P*B*inv(P)
A =

   1   0   0
   2   0   0
   6  -1  -1

>> A^5
ans =

   1   0   0
   2   0   0
   6  -1  -1