矩阵求逆

Posted 2020-12-11 lcez56jsy

其实这玩意去年也搞过不过就是TLE鹅已
我们知道如果(ab=1),则(b)为(a)的逆元，那我们现在有两个矩阵(A),(A^{-1}),已知(AA^{-1}=E)，则(A^{-1})为(A)的逆元
那么我们应该怎么求(A{-1})呢？
如果我们用手算，那么可以先搞出来伴随矩阵，然后再用行列式除以(A)的行列式（这里建议百度百科）大概还会补上吧.....
当然还有另一种方法。
(A)乘它的逆矩阵得到单位矩阵，那么我们可以将(A)经过一系列操作把它变成单位矩阵。同时对另一个单位矩阵进行相同的操作，这样最终这个单位矩阵就会变成(A)的逆矩阵
为什么呢？
接下来内容请感性李姐理解
先康一康这个等式：(AA^{-1}=E)
我们每次对(A)进行操作，可看做是让(A)左乘或者右乘某个矩阵，同时等号右边的单位矩阵也乘相同的矩阵，当(A)变成单位矩阵的时候，设此时右边的矩阵是(B),则有(EA^{-1}=B)，所以此时原来的单位矩阵就是现在的逆矩阵
我们可以通过高斯消元来把(A)变成单位矩阵
这里简单说一下高斯消元。
首先，我们先将矩阵消成一个上三角（当然下三角也是可以的）。然后从((n-1,n))开始，(A_{ik})-=(A_{jk}cdot A_{ik}),其中(j)为当前要消去的元素所在的列，(i)表示当前元素所在的行。因为单位矩阵第(j)行第(j)列才是1.注意是一列一列的消
看看代码吧（蒟蒻放弃卡常于是乎吸了氧气）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#define pa pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read()
{
	char ch=getchar();
	ll x=0;bool f=0;
	while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)
	{
		if(ch==‘-‘) f=1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
	{
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return f?-x:x;
} 
const int mod=1000000007;
int n;
struct jz{
	ll s[409][409];
}a,b;
void Swap(jz &nw,int st,int en)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 swap(nw.s[st][i],nw.s[en][i]);
}
ll ksm(ll a)//记得开longlong
{
	ll r=1;ll b=mod-2;
	while(b)
	{
		if(b&1) r=(r*a+mod)%mod;
		a=(a*a+mod)%mod;
		b>>=1;
	}
	return r;
}
void cheng(jz &nw,int ln,ll ny)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 nw.s[ln][i]=((nw.s[ln][i]*ny)%mod+mod)%mod;
}
void xiao(jz &nw,int nl,int fl,int v)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 nw.s[nl][i]=((nw.s[nl][i]+nw.s[fl][i]*v)%mod+mod)%mod;
}
void print()
{
		for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		 printf("%lld ",b.s[i][j]);
		printf("
"); 
	}
	printf("
");
}
int main()
{
	n=read();
	memset(a.s,0,sizeof(a.s));
	memset(b.s,0,sizeof(b.s));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=1;j<=n;j++)
	  a.s[i][j]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=1;j<=n;j++)
	  b.s[i][i]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)//消成上三角矩阵
	{
		if(!a.s[i][i])
		 for(int j=i;j<=n;j++)
			if(a.s[j][i])
			{Swap(a,i,j),Swap(b,i,j);break;}	
		if(!a.s[i][i]){printf("No Solution
");return 0;}//让对角线上不是0
	        ll ny=ksm(a.s[i][i]);
		cheng(a,i,ny);cheng(b,i,ny);//整行变换
		for(int j=i+1;j<=n;j++)//消去该列剩下的数
	        { xiao(b,j,i,-a.s[j][i]);
	          xiao(a,j,i,-a.s[j][i]);	
		}  
	}
	for(int i=n-1;i>=1;i--)//把上三角矩阵消成单位矩阵
	{
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{   
		    xiao(b,i,j,-a.s[i][j]);
		    xiao(a,i,j,-a.s[i][j]);
		}
	}  
    print();
}