（Gauss-Jordan）高斯消元法求逆矩阵（含C/C++实现代码）

Posted 2022-05-30 MangataTS

文章目录

• • 一、问题引出
  • 二、原理
  • • 2.1 矩阵求逆原理
    • 2.2 矩阵消元原理
  • 三、举例
  • 四、题目链接
  • 五、代码实现
  • • 5.1 整数逆元逆矩阵
    • 5.2 浮点逆矩阵
  • 六、拓展：逆矩阵求法
  • • 6.1 LU分解法
    • 6.2 SVD分解法
    • 6.3 QR分解法

一、问题引出

给定一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$ ，我们想求得一个矩阵 $B$ 使得 $|A\times B|$ 即 $A$ 矩阵和 $B$ 矩阵的积矩阵的行列式为 $1$ ，那么这个 $B$ 矩阵就是 $A$ 矩阵的逆矩阵，或者说 $A\times B$ 得到单位矩阵 $E$

二、原理

2.1 矩阵求逆原理

• 我们先构造出一个 $n\times 2n$ 的增广矩阵 $(A,I_n)$
• 然后用高斯消元法将这个增广矩阵化为最简形式 $(I_n,A^{-1})$ ，此时的增广部分就是 $A$ 矩阵的逆矩阵，如果最后简化的左半部分矩阵不是单位矩阵那么说明矩阵 $A$ 不可逆

2.2 矩阵消元原理

• 对于一个矩阵 $A$ ，我们从第 $1$ 行到第 $n$ 行不断选取第 $i$ 列不为 $0$ 的行，然后做一个行变换（交换两行，使得当前的第 $i$ 行的第 $i$ 列不为0）
• 然后将当前的第 $i$ 行做一个初等变换，也就是都除以 $A[i][i]$ 这样的话就能让第 $i$ 行第 $i$ 列变为 $1$
• 将第 $i$ 行下面的所有行的第 $i$ 列全部消掉，此时就构成了一个上三角矩阵
• 此时已经构成了一个阶梯型矩阵，我们再从下往上不断将上半矩阵同理消掉即可

三、举例

我们要求的 $A$ 矩阵如下：
$$\left[\begin{array}{c}211\\ 321\\ 212\end{array}\right]$$

1. 我们构造出增广矩阵：

$$\left[\begin{array}{c}211100\\ 321010\\ 212001\end{array}\right]$$

2. 开始行变换，消除下三角

$$\left[\begin{array}{c}11/21/21/200\\ 01-1-320\\ 001-101\end{array}\right]$$
3. 从下往上消除上三角形

$$\left[\begin{array}{c}1003-1-1\\ 010-421\\ 001-101\end{array}\right]$$

四、题目链接

https://www.luogu.com.cn/problem/P4783

五、代码实现

5.1 整数逆元逆矩阵

对于这个整数逆元逆矩阵，需要注意的一点是模数最好选择一个质数，否则很容易存在逆元不存在的情况，导致求解出来的逆矩阵不正确

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
using namespace std;

il ll read()
    ll s=0,f=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-'),c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(c^'0'),c=getchar();
    return f?-s:s;


const int N=405,mod=1e9+7;
int n;
ll a[N][N<<1];
il ll qpow(ll x,ll k)
	ll ans=1;
	while(k)
		if(k&1) ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod;
		k>>=1;
	
	return ans%mod;


il void Gauss_j()	
	for(re int i=1,r;i<=n;++i)
		r=i;
		for(re int j=i+1;j<=n;++j)
			if(a[j][i]>a[r][i]) r=j;
		if(r!=i) swap(a[i],a[r]);
		if(!a[i][i])puts("No Solution");return;
		
		int kk=qpow(a[i][i],mod-2);	//求逆元 
		for(re int k=1;k<=n;++k)
			if(k==i) continue;
			int p=a[k][i]*kk%mod;
			for(re int j=i;j<=(n<<1);++j) 
				a[k][j]=((a[k][j]-p*a[i][j])%mod+mod)%mod;
		 
		
		for(re int j=1;j<=(n<<1);++j) a[i][j]=(a[i][j]*kk%mod);
		//更新当前行 如果放在最后要再求一次逆元,不如直接放在这里  
		
	
	for(re int i=1;i<=n;++i)
		for(re int j=n+1;j<(n<<1);++j) printf("%lld ",a[i][j]);
		printf("%lld\\n",a[i][n<<1]);
	

int main()
	n=read();
	for(re int i=1;i<=n;++i)
		for(re int j=1;j<=n;++j)
			a[i][j]=read(),a[i][i+n]=1;
	
	Gauss_j();
    return 0;

5.2 浮点逆矩阵

对于浮点逆矩阵那么直接用高斯消元的方式做就好了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 26
#define endl "\\n"
#define PII pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define EPS 0.00001

const int N = 1e2+10;
ll n;
double a[N][N],b[N][N];

void output(double a[N][N],double b[N][N])
	//调试输出
	cout<<"调试输出：左边为A矩阵，右边为B矩阵"<<endl;
	for(int i = 1;i <= n; ++i) 
		for(int j = 1;j <= n; ++j) 
			cout<<a[i][j]<<"\\t";
		
		for(int j = 1;j <= n; ++j) 
			cout<<b[i][j]<<"\\t\\n"[j == n];
		
	



void guss()
	for(ll i = 高斯消元法求矩阵的行列式

 高斯消元法
 （模板）求逆矩阵luoguP4783
 高斯消元法求齐次线性方程的通解
 高斯消元法求特征值
 计算机是怎么求解线性方程的(矩阵乘和求逆)