高斯消元法

Posted 2021-09-16 Harris-H

文章目录

• 高斯消元法
• • 法1:高斯-约旦消元
  • • 思路
    • 流程
    • P3389 code
  • 法2 高斯消元(回代)
• 矩阵求逆
• 高斯消元判断是否多解,无解,唯一解
• • 参考文章

高斯消元法

法1:高斯-约旦消元

思路

$AX=B$

将$A,B$同时进行初等变换，将$A$变为对角线都为$1$其他为$0$的矩阵，则此时的$B$就是$X$。

从第一列开始，每次把$a[i][i]=1$，其他变为$0$。

流程

• 从第一列开始。
• 对每列$i$在$[i,n]$找到最大的$a[j][i],j\in [i,n]$，这里从$i$开始是因为$[1,i-1]$的$1$已经构造好了，不能在进行两行交换破坏结构。
• 如果此时最大值$a[i][i]=0$说明该列都为$0$无解。
• 否则用该行去抵消其他行，使得该行的非$i$列都为$0$。

时间复杂度：$O(n^3)$

P3389 code

int n;
double a[N][N];
void Gauss(){ //O(n^3)
	rep(i,1,n){
		int mx=i;
		rep(j,i+1,n){
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mx][i])) mx=j;
		}
		rep(j,1,n+1) swap(a[i][j],a[mx][j]);
		if(!a[i][i]) return (void)puts("No Solution");
		rep(j,1,n){
			if(j!=i){
				double x=a[j][i]/a[i][i];
				rep(k,i+1,n+1)
					a[j][k]-=x*a[i][k];
			}
		}
	}
	rep(i,1,n) printf("%.2f\\n",a[i][n+1]/a[i][i]);
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	rep(i,1,n)
		rep(j,1,n+1) scanf("%lf",&a[i][j]);
	Gauss();
	return 0;
}

法2 高斯消元(回代)

与法1不同的是，该方法没有化为对角为1的矩阵，而是逐个带入消元，最终求得$an{s}_n$，然后往回代，倒着求出$an{s}_{n-1},an{s}_{n-2}\dots ,a_1$。

int n;
double a[N][N],ans[N];
void Gauss(){ //O(n^3)
	rep(i,1,n){
		int mx=i;
		rep(j,i+1,n){
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mx][i])) mx=j;
		}
		if(mx!=i) swap(a[mx],a[i]);
		if(!a[i][i]) return (void)puts("No Solution");
		double x=a[i][i];
		rep(j,i,n+1) a[i][j]/=x;
		rep(j,i+1,n){
			x=a[j][i];
			rep(k,i,n+1) a[j][k]-=a[i][k]*x;
		}
	}
	ans[n]=a[n][n+1];
	per(i,n-1,1){	//回代
		ans[i]=a[i][n+1];
		rep(j,i+1,n)
			ans[i]-=a[i][j]*ans[j];
	}
	rep(i,1,n) printf("%.2f\\n",ans[i]);
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	rep(i,1,n)
		rep(j,1,n+1) scanf("%lf",&a[i][j]);
	Gauss();
	return 0;
}

矩阵求逆

同样是利用高斯-约旦消元.

$A{A}^{-1}=E$

构造矩阵$[AE]$ ,通过初等变换为:$[E{A}^{-1}]$.

时间复杂度:$O(n^3)$

code

int n;
ll a[N][N];
ll ksm(ll a,ll n,ll m=mod){
	ll ans=1;
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*a%m;
		a=a*a%m;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
void Inv_Matrix(){	//O(n^3)
	int m=n<<1;
	rep(i,1,n){
		int mx=i;
		rep(j,i+1,n){
			if(a[j][i]>a[mx][i]) mx=j;
		}
		if(i!=mx) swap(a[i],a[mx]);
		if(!a[i][i]) return (void)puts("No Solution");
		ll x=ksm(a[i][i],mod-2);
		rep(j,1,n){
			if(j!=i){
				ll y=a[j][i]*x%mod;
				rep(k,i+1,m)
					(a[j][k]-=y*a[i][k]%mod)%=mod;
			}
		}
		rep(j,1,m)  a[i][j]=a[i][j]*x%mod;
	}
	rep(i,1,n){
		rep(j,n+1,m) printf("%lld ",(a[i][j]%mod+mod)%mod);
	printf("\\n");
	} 
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	rep(i,1,n){
		rep(j,1,n) scanf("%lld",&a[i][j]);
		a[i][i+n]=1;
	}
	Inv_Matrix();
	return 0;
}

高斯消元判断是否多解,无解,唯一解

利用传统的高斯消元即可.

时间复杂度:$O(n^3)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=55,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define x first
#define y second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0) 
void Print(int *a,int n){
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	printf("%d\\n",a[n]); 
}
int n;
const double eps=1e-6;
double a[N][N],ans[N];
int Gauss(){ //O(n^3)
	int r=1;
	rep(i,1,n){
		int mx=r;
		rep(j,r+1,n){
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mx][i])) mx=j;
		}
		if(fabs(a[mx][i])<eps) continue;
		if(mx!=r) swap(a[mx],a[r]);
		double x=a[r][i];
		rep(j,i,以上是关于高斯消元法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 luogu P3389 模板高斯消元法
 高斯消元法
 高斯消元法
 高斯消元法
 高斯消元法
 高斯消元总结