求逆矩阵模板

Posted 2022-12-15 lfri

题目

P4783

求一个 $N \times N$ 的矩阵的逆矩阵。答案对 $10^9+7$ 取模。若不可逆，输出 "No Solution"。

分析

由线性代数的知识，求矩阵A的逆矩阵时，

只需在A的右边补充一个单位矩阵，进行初等行变换，当A变成单位矩阵时，右边的就是A的逆矩阵。

简单的证明：$AE\rightarrow EA‘$

代码

//来自https://blog.csdn.net/qq_43653202/article/details/99976316

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
using namespace std;

il ll read()
    ll s=0,f=0;char c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘) f=(c==‘-‘),c=getchar();
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) s=(s<<3)+(s<<1)+(c^‘0‘),c=getchar();
    return f?-s:s;


const int N=405,mod=1e9+7;
int n;
ll a[N][N<<1];
il ll qpow(ll x,ll k)
    ll ans=1;
    while(k)
        if(k&1) ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        k>>=1;
    
    return ans%mod;


il void Gauss_j()
    for(re int i=1,r;i<=n;++i)
        r=i;
        for(re int j=i+1;j<=n;++j)
            if(a[j][i]>a[r][i]) r=j;
        if(r!=i) swap(a[i],a[r]);
        if(!a[i][i])puts("No Solution");return;

        int kk=qpow(a[i][i],mod-2); //求逆元
        for(re int k=1;k<=n;++k)
            if(k==i) continue;
            int p=a[k][i]*kk%mod;
            for(re int j=i;j<=(n<<1);++j)
                a[k][j]=((a[k][j]-p*a[i][j])%mod+mod)%mod;
        

        for(re int j=1;j<=(n<<1);++j) a[i][j]=(a[i][j]*kk%mod);
        //更新当前行 如果放在最后要再求一次逆元,不如直接放在这里
    

    for(re int i=1;i<=n;++i)
        for(re int j=n+1;j<(n<<1);++j) printf("%lld ",a[i][j]);
        printf("%lld\n",a[i][n<<1]);
    

int main()
    n=read();
    for(re int i=1;i<=n;++i)
        for(re int j=1;j<=n;++j)
            a[i][j]=read(),a[i][i+n]=1;

    Gauss_j();
    return 0;