牛客-数的划分——详解dp划分数问题

Posted 2022-02-05 C+++++++++++++++++++

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题目

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题目详解

划分数类型题目都是dp解决，而且都有固定的套路和公式，但我们还是需要在前人的公式上加以理解！

划分数问题dp总结

我这里就提两个比较常见的划分数问题的dp原理：

如果对数字划分较为抽象，那么我们把这个数字可以比作苹果，即有n个苹果需要划分到m个盘子里面，而这几个盘子的顺序肯定是不考虑的，也就是5个苹果划分给3个盘子，则1 2 2和2 1 2是完全一样的情况，只看具体的数字组合不看内部排列！

1. 将n划分成不大于m的划分。

   $dp[n][m]=dp[n-m][m]+dp[n][m-1]$

   对于以上的状态转移方程，

   • dp[n-m][m] 表示n个苹果放入m个盘子中，无空盘的情况。

   • dp[n][m-1] 表示n个苹果放入m个盘子中，有空盘的情况(这就是划分成不大于m盘的关键所在)。这么写肯定是有些难以理解，但当你去举例子，将它递归往下写的时候，你就会发现这个dp[n][m-1] 包含了从 dp[n][1] 到 dp[n][m-1] 的所有情况！

   底层的基本case有：

   • 当 n==1||m==1 ，即盘子或者苹果数量为1个的时候，那肯定就只有一种情况。即dp[n][m]=1。
   • 当 n>m ，则还能继续划分即dp[n][m] = dp[n-m][m]+dp[n][m-1]。
   • 当 n==m ，则有两种情况，当划分为m个时，结果为1，然后继续空盘子划分，即 dp[n][m]=dp[n][m-1]+1。
   • 当 n<m，由于可以空盘，所以是允许存在的，但此时不可能满盘，所以等于空盘的情况，即 dp[n][m] = dp[n][m-1]。

   写成代码形式就是（我比较喜欢写记忆化dfs，毕竟不需要考虑初始化问题，只需考虑最后的跳出）：

   以下的两个判断条件就把所有是以上四种情况包含在内了！

   int memo[202][8];//记忆化的备忘录
   //TODO 划分数记忆化方式
   int dfs(int n,int m)
       if(n<0||m<0)
           return 0;
       if(n==1||n==0||m==1)
           return 1;
       return memo[n][m] = dfs(n-m,m)+dfs(n,m-1);
   
   

2. 将n严格划分为m个数。(即n个苹果严格划分为m盘，不要有空位！)

   $dp[n][m]=dp[n-m][m]+dp[n-1][m-1]$

   下面给出我的一段手写推导：

   

   base case也在手写题解里面提到了，所以直接上代码：

   int memo[202][8];
   //TODO 划分数n划成k份的记忆化方式
   int dfs(int n,int k)
       if(n<k)
           return 0;
       if(n==k||k==1)
           return 1;
       if(memo[n][k])return memo[n][k];
      return memo[n][k] = dfs(n-k, k) + dfs(n-1,k-1);
   
   

解题代码

前面已经介绍了两种划分数的dp，那么本题就属于第二种划分数的dp！

直接把上面的代码拿下来直接秒！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll memo[202][8];
int n,k;
//TODO 划分数记忆化方式
ll dfs(int a,int b)
    if(a<b)
        return 0;
    if(a==b||b==1)
        return 1;
    if(memo[a][b])return memo[a][b];
   return memo[a][b] = dfs(a-b, b) + dfs(a-1,b-1);

int main()
    cin>>n>>k;
    cout<<dfs(n, k);
    return 0;