DP专题：划分数问题

Posted 2020-10-10 iBilllee

一、这个专题有什么用

练练DP

练练组合数学

......

二、正题

此类问题有如下几种形态：

1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。
2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。

 

1:将n划分成若干正整数的划分数

(1):划分数可以存在相同的数

那么，设dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。

则划分数可以分为两种情况:
　　a.划分中每个数都小于 m，相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1]
　　b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分， 故划分数为 dp[n-m][m]

总递推式：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]

(2):划分数不可以存在相同的数

若还是设成同样的状态，从（1）可以看出，a条件是不会改变的，而b条件中，n-m后由于不存在重复，则划分数变为dp[n-m][m-1]

总递推式：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1]

 

2:将n划分成k个正整数的划分数

设dp[i][k]为，把i分成k分的划分法

那么也有两种情况：

　　a.n份中不包括1的情况，那么每份中都可以拿出1来，即为dp[i-k][k]

　　b.n份中起码有1个1的情况，那么把这个1去掉，变为dp[i-1][k-1]

总递推式：dp[i][k]=dp[i-k][k]+dp[i-1][k-1]

 

3:将n划分成若干奇数的划分数

设g[i][j]:将i划分成j个偶数

f[i][j]:将i划分成j个奇数

对于偶数来讲，为f[i-j][j]中的共j个数，每个加1，则变成偶数。

对于奇数来讲，为g[i-j][j]中的共j个数，每个加1，则变成奇数；且还有新加入的1，则为f[i-1][j-1]

所以递推式为：g[i][j]=f[i-j][j] , f[i][j]=f[i-1][j-1]

可以看一看HitOJ1402的代码：

 

 1 /*
 2  * hit1402.c
 3  *
 4  *  Created on: 2011-10-11
 5  *      Author: bjfuwangzhu
 6  */
 7 
 8 #include<stdio.h>
 9 #include<string.h>
10 #define nmax 51
11 int num[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的个数
12 int num1[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的不同的数
13 int num2[nmax][nmax]; //将i划分为j个数
14 int f[nmax][nmax]; //将i划分为j个奇数
15 int g[nmax][nmax]; //将i划分为j个偶数
16 void init() {
17     int i, j;
18     for (i = 0; i < nmax; i++) {
19         num[i][0] = 0, num[0][i] = 0, num1[i][0] = 0, num1[0][i] = 0, num2[i][0] =
20                 0, num2[0][i] = 0;
21     }
22     for (i = 1; i < nmax; i++) {
23         for (j = 1; j < nmax; j++) {
24             if (i < j) {
25                 num[i][j] = num[i][i];
26                 num1[i][j] = num1[i][i];
27                 num2[i][j] = 0;
28             } else if (i == j) {
29                 num[i][j] = num[i][j - 1] + 1;
30                 num1[i][j] = num1[i][j - 1] + 1;
31                 num2[i][j] = 1;
32 
33             } else {
34                 num[i][j] = num[i][j - 1] + num[i - j][j];
35                 num1[i][j] = num1[i][j - 1] + num1[i - j][j - 1];
36                 num2[i][j] = num2[i - 1][j - 1] + num2[i - j][j];
37             }
38         }
39     }
40     f[0][0] = 1, g[0][0] = 1;
41     for (i = 1; i < nmax; i++) {
42         for (j = 1; j <= i; j++) {
43             g[i][j] = f[i - j][j];
44             f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
45         }
46     }
47 }
48 int main() {
49 #ifndef ONLINE_JUDGE
50     freopen("data.in", "r", stdin);
51 #endif
52     int n, k, i, res0, res1, res2, res3, res4;
53     init();
54     while (~scanf("%d %d", &n, &k)) {
55         res0 = num[n][n];
56         res1 = num2[n][k];
57         res2 = num[n][k];
58         for (i = 0, res3 = 0; i <= n; i++) {
59             res3 += f[n][i];
60         }
61         res4 = num1[n][n];
62         printf("%d\n%d\n%d\n%d\n%d\n\n", res0, res1, res2, res3, res4);
63     }
64     return 0;
65 }

View Code

 

 

未完待续............