数的划分终极版--背包法解决各类数的划分

Posted 2020-07-05 tech-chen

例：NOI 7219:复杂的整数划分问题

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65536kB

描述

将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。

输入

标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一行输入数据,包括两个整数N 和 K。 
(0 < N <= 50, 0 < K <= N)

输出

对于每组测试数据，输出以下三行数据:
第一行: N划分成K个正整数之和的划分数目
第二行: N划分成若干个不同正整数之和的划分数目
第三行: N划分成若干个奇正整数之和的划分数目

样例输入

5 2

样例输出

2
3
3

提示

第一行: 4+1, 3+2,
第二行: 5，4+1，3+2
第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=51;
int f1[N][N],f2[N],f3[N];
int sum[N],jsum[N];
int n,k;
void init()
{
    f2[0]=f3[0]=1;
    for(int i=1;i<N;++i)
    sum[i]=i;
    int t=0;
    for(int i=1;i<N;i+=2)
    jsum[++t]=i;
    for(int i=1;i<N;++i)
      for(int j=1;j<=i;++j)
      {
          if(j==1)
          f1[i][j]=1;
          else if(i>=j)
          f1[i][j]=f1[i-1][j-1]+f1[i-j][j];/*N划分成K个正整数之和的划分数目*/
      
      }
    for(int i=1;i<N;++i)
      for(int j=N-1;j>=sum[i];--j)
      f2[j]+=f2[j-sum[i]];/* N划分成若干个不同正整数之和的划分数目*/
    for(int i=1;i<=t;++i)/*注意这里是t，而不是N*/
      for(int j=jsum[i];j<N;++j)
      f3[j]+=f3[j-jsum[i]];/*N划分成若干个奇正整数之和的划分数目*/
}
int main()
{
    init();
    while(scanf("%d%d",&n,&k)==2)
    {
        if(n==0)printf("0\\n0\\n0\\n");
        else 
        printf("%d\\n%d\\n%d\\n",f1[n][k],f2[n],f3[n]);
    }
    return 0;
}

View Code

第一行: N划分成K个正整数之和的划分数目
第二行: N划分成若干个不同正整数之和的划分数目
第三行: N划分成若干个奇正整数之和的划分数目

解析：对于"N划分成K个正整数之和的划分数目",无法使用背包法，还是用传统的f[n][m]=f[n-1][m-1]+f[n-m][m];

而对于N划分成若干个不同正整数之和的划分数目，可以生成一个正整数数列作为物品，跑01背包，题目就是恰好放满背包的方案数目，注意f[0]=1就可以了。

对于“N划分成若干个奇正整数之和的划分数目”，就生成一个正奇数数列作为物品，跑完全背包还是01背包取决于，是否有“不同的数”。

而对于“将n划分成最大数不超过k的划分数。”，就生成一个1--k的数列，跑01背包或者完全背包就可以了。