整数划分类型题目--专练

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了整数划分类型题目--专练相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1.NOI 8787:数的划分(将n划分成k个数的划分法

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描述

将整数n分成k份,且每份不能为空,任意两份不能相同(不考虑顺序)。

例如:n=7,k=3,下面三种分法被认为是相同的。

1,1,5; 1,5,1; 5,1,1;

问有多少种不同的分法。 输出:一个整数,即不同的分法。

输入
两个整数n,k (6 < n <= 200,2 <= k <= 6),中间用单个空格隔开。
输出
一个整数,即不同的分法。
样例输入
7 3
样例输出
4
提示
四种分法为:1,1,5;1,2,4;1,3,3;2,2,3。
来源
NOIP2001复赛 提高组 第二题
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
long long int f[201][10];
int n,k;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=1;j<=i&&j<=k;++j)
      {
          if(j==1)
          f[i][j]=1;
          else f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
      }
    cout<<f[n][k]<<endl;
    return 0;
 } 
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2. NOI7215:简单的整数划分问题(将n划分成若干个数的划分法

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描述

将正整数n 表示成一系列正整数之和,n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ,k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。正整数n 的不同的划分个数称为正整数n 的划分数。

输入
标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一个整数N(0 < N <= 50)。
输出
对于每组测试数据,输出N的划分数。
样例输入
5
样例输出
7
提示
5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#define N 51
#include<cstring>
int f[N][N];
/*f[N][N]说明把N分为1--N份的划分的划分数目*/
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)/*注意c++中while后面加;,不会报错,但是运行时不循环*/
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
    for(int k=1;k<=n;++k)
      for(int i=1;i<=n;++i)/*DP方程说明*/
      {
          if(k==1||i==1)
          f[i][k]=1;/*把任何数分为1分或者把1分为k份都是1*/
          if(i==k)
          f[i][k]=f[i][k-1]+1;/*当i==k的时候,(a). 划分中包含n的情况,只有一个即 { n };
              (b). 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比 n 小,即 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。*/
          if(i<k)
          f[i][k]=f[i][i];/*当i<k时,只能把i分为最多i份,所以是f[i][i].*/
          if(i>k)
          f[i][k]=f[i-k][k]+f[i][k-1];/*当i>k的时候,把i份分为k份包括:包含最大数k,就是i-k时剩下的数(其中也可能包含k),所以是f[i-k][k],二:不包含k,那就是f[i][k-1]*/
      }
        printf("%d\\n",f[n][n]);
    }

    return 0;
}
代码:

3.有划分次数和没有划分次数的对比

1.没有划分次数
if(k==1||i==1)
          f[i][k]=1;/*把任何数分为1分或者把1分为k份都是1*/
          if(i==k)
          f[i][k]=f[i][k-1]+1;/*当i==k的时候,(a). 划分中包含n的情况,只有一个即 { n };
              (b). 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比 n 小,即 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。*/
          if(i<k)
          f[i][k]=f[i][i];/*当i<k时,只能把i分为最多i份,所以是f[i][i].*/
          if(i>k)
          f[i][k]=f[i-k][k]+f[i][k-1];/*当i>k的时候,把i份分为k份包括:包含最大数k,就是i-k时剩下的数(其中也可能包含k),所以是f[i-k][k],二:不包含k,那就是f[i][k-1]*/
2.有划分次数
if(j==1)
f[i][j]=1;
else f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
没有划分次数的限制,主要处理好k>i,i==k的情况,还有就是
f[i][k]代表的不再是划分k次而是划分1--k次

4.将n划分成不大于m的划分法: 

   1).若是划分多个整数可以存在相同的:

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#define N 51
int f[N][N];
/*f[i][j]含义:把i在不超过j的情况下的划分数*/
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=N;++i)
     {
          f[0][i]=0;f[i][0]=0;
     }
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=1;j<=m;++j)
      {
              if(i==j)
              f[i][j]=f[i][j-1]+1;/*i==j的划分:1.把i分为超过j-1的划分数,2.把i看做一份,也就是j,所以f[0][1--m]应该是1,也就是处理一份的情况*/
              else if(i>j)
              f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j];
            else f[i][j]=f[i][i];/*当j>i的时候对于f[i][..]的划分无影响,所以不计*/ 
          
      }
    printf("%d\\n",f[n][m]);
    return 0;
}
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      2).若是划分多个不同的整数:

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#define N 51
int f[N][N];
/*f[i][j]含义:把i在不超过j的情况下的划分数*/
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=N;++i)
     {
          f[0][i]=0;f[i][0]=0;
     }
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=1;j<=m;++j)
      {
              if(i==j)
              f[i][j]=f[i][j-1]+1;/*i==j的划分:1.把i分为超过j-1的划分数,2.把i看做一份,也就是j,所以f[0][1--m]应该是1,也就是处理一份的情况*/
              else if(i>j)
              f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j-1];
            else f[i][j]=f[i][i];/*当j>i的时候对于f[i][..]的划分无影响,所以不计*/ 
          
      }
    printf("%d\\n",f[n][m]);
    return 0;
}
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      3).总结:

            .将n划分成不大于m的划分法的做法:

              1.初始化,f[i][0]=f[0][j]=0;

               2.转移方程if i==j的时候,f[i][j]=f[i][j-1]+1

                                if i>j f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j](可重复的)  if i>j f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j-1](不可重复的)

                                if i<f f[i][j]=f[i][i];

5.将正整数划分成连续的正整数之和

/*分析:只要能够组成连续的整数和,那么假设从x开始,一共有i个数,那么总和为(i*x+i*(i-1)/2)==n,就是方案,确定i的范围,i的范围是(i-1)*i/2小于n,
只要判断n-(i-1)*i/2==t,只要判断t%i==0就可以了(t%i是x,x是整数,那么就是方案),然后输出包括x在内的i个数就可以了*/
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int sum=0;
    for(int i=1;i*(i-1)/2<n;++i)
    {
        int t=n-(i-1)*i/2;
        if(t%i==0)
        {
            t/=i;
            sum++;
            printf("%d ",t);
            for(int j=1;j<=i-1;++j)
            printf("%d ",t+j);
            printf("\\n");
        }
        
    }
    printf("%d\\n",sum);
    return 0;
}
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6.求划分因子乘积最大的一个划分及此乘积(划分出来的数可以重复)

/*当n>4的时候, 2^k1 * 3^k2会有最大值,证明我的文章 
:此数应该分解为 2^k1 * 3^k2。而且可以证明 k1>=0 并且 k1 <= 2,因此:
     A.当n = 3*r 时, 分解为 3^r
     B.当n = 3*r+1时, 分解为 3^(r-1)*2*2
     C.当n = 3*r+2时, 分解为 3^r*2
当n<=4,就是他自身,特别判断,直接输出即可 
*/
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
int n;
#include<cmath>
int sum=1;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    if(n<=4)
    {
        printf("%d\\n",n);
        return 0;
    }
    if(n%3==0)
    {
        int t=n/3;
        int x=pow(3,t);
        printf("%d\\n",x);
    }
    if(n%3==1)
    {
        int t=n/3-1;
        int x=pow(3,t);
        printf("%d\\n",4*x);
    }if(n%3==2)
    {
        int t=n/3;
        int x=pow(3,t);
        printf("%d\\n",2*x);
    }
    return 0;
 } 
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7.求划分因子乘积最大的一个划分及此乘积(划分出来的数不可以重复)

把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和,且使这些自然数的乘积最大,该乘积是多少?
解:由于把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种,因而一定存在一种分法,使得这些自然数的乘积最大。
  若1作因数,则显然乘积不会最大。把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和,因数个数越多,乘积越大。为了使因数个数尽可能地多,我们把1993分成2+3…+n直到和大于等于1993。
若和比1993大1,则因数个数至少减少1个,为了使乘积最大,应去掉最小的2,并将最后一个数(最大)加上1。
若和比1993大k(k≠1),则去掉等于k的那个数,便可使乘积最大。
所以n=63。因为2015-1993=22,所以应去掉22,把1993分成(2+3+…+21)+(23+24+…+63)

这一形式时,这些数的乘积最大,其积为  2×3×…×21×23×24×…×63。

 

/*。分析:为了使因数个数尽可能地多,我们把x分成2+3…+n直到和大于等于x。
若和比x大1,则因数个数至少减少1个,为了使乘积最大,应去掉最小的2,并将最后一个数(最大)加上1。
若和比x大k(k≠1),则去掉等于k的那个数,便可使乘积最大。*/
#include<iostream>
#define N 10001
#include<cstdio>
int f[N];
long long int sum;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    sum=0;
    int t=2;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    f[i]=i;
    if(n>=2)
    {
        while(sum<n)
      {  
        sum+=f[t];
        ++t;
      }
      t--;
      int k=sum-n;
      if(k==1)
      {
          f[2]=0;
          f[t]++;
      }
      else {
          f[k]=0;
      }
      sum=1;
      for(int i=1;i<=t;++i)
      if(f[i])
      sum*=f[i];
      printf("%d\\n",sum);
    }
    else {
        if(n==1)
        printf("1\\n");
        else printf("0\\n");
    }
    return 0;
}
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以上是关于整数划分类型题目--专练的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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将正整数n表示成k个正整数的和(不计各数次序),称为正整数n分为k部分的一个划分,两个划分中,如果各加

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