划分型dp-数的划分

Posted 2020-07-08 凤涅

题目描述 Description

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种划分方案不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种划分方案被认为是相同的。
1 1 5

1 5 1

5 1 1
问有多少种不同的分法。

输入描述 Input Description

输入：n，k (6<n<=200，2<=k<=6)

输出描述 Output Description

输出：一个整数，即不同的分法。

样例输入 Sample Input

 7 3

样例输出 Sample Output

4

//

解析：这一题实际上是组合数学里面的经典问题，跟第二类Stirling数有些相似。可以把一个数值为n的数看成n个小球，划分的份数k看作是k个盒子，那么本题的要求就是：
将n个小球放到k个盒子中，小球之间与盒子之间没有区别，并且最后的结果不允许空盒
与第二类Stirling数的递推公式的推导过程相似：
将n个小球放到k个盒子中的情况总数=1、至少有一个盒子只有一个小球的情况数+2、没有一个盒子只有一个小球的情况数
 
这样进行划分的原因是这种分类足够特殊，1和2都有可以写出来的表达式：
1. 因为盒子不加区分，那么1的情况数与“将n-1个小球放到k-1个盒子中”的情况数一样
2. 没有一个盒子只有一个小球，那么把每个盒子中拿出来一个小球，对应的是“把(n-k)个小球放到k个盒子中的情况数”
至于1和2中的两种等价关系为什么成立，可以用集合A=集合B的方式去证明
 
最后将上面的叙述转化为dp的表达形式：
f[n][k]代表将n个小球放到k个盒子中且没有空盒的情况，那么f[n][k] = f[n-1][k-1] + f[n-k][k]
（copy自大神）

代码

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[1000][1000];
int main()
{
int i,j,x,n,k;
cin>>n>>k;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
{
if(i==j) dp[i][j]=1;
else dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i-1][j-1];
}
cout<<dp[n][k]<<endl;
return 0;
}