12月学习进度6/31——计算机图形学期末准备03Bezier曲线及MATLAB实现

Posted 2021-12-30 fu_GAGA

贝塞尔曲线

参考GAMES101计算机图形学视频
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讲得超级棒！

定义

Bezier曲线 —— 用给定的控制点定义曲线，控制点控制曲线的弯曲，不一定要全部经过所有控制点

1.如何画Bezier曲线（递归过程）

参数 $t\in [0,1]$
对于每一个 $t$ ：

1. 针对每一个控制点所连的线段 $b_i{b}_{i+1}$ 取点 $b_i^{\prime }$，使得:
   • $|b_i{b}_i^{\prime }|=t$
   • $|b_i^{\prime }{b}_{i+1}|=1-t$
2. 连接 $b_i^{\prime }$ 和 $b_{i+1}^{\prime }$ ，新构成的所有线段，重复上述取点 $b_i^{\prime \prime }$ 操作
3. 重复1,2操作，直到线段数为1，则该线段上取的点就是该 $t$ 对应的曲线上的点

遍历所有 $t\in [0,1]$ ，则可以画出该组控制点对应的Bezier曲线

2.Bezier曲线的代数形式

$b^n(t)={\Sigma }_{j=0}^n{b}_j\ast B_j^n(t)$

其中 $B_j^n(t)=C_n^i\ast t^i\ast (1-t{)}^{n-i}$
多项式对称： $C_n^i=C_n^{n-i}$

该公式可看做：

1. 控制点 $b_j$ 对多项式 $B_j^n(t)$ 的加权和；
2. 多项式 $B_j^n(t)$ 对控制点 $b_j$ 的加权和；

Bezier曲线的性质

Bezier曲线一定在其控制点的凸包中：
当控制点共线时 → 形成的Bezier曲线就是这条直线

分段Bezier曲线及连续性

当控制点较多时，不好控制，曲线较平滑，单个控制点的改变对曲线形状影响较小
常用：三次Bezier曲线（4个控制点）

矩阵形式表示

MATLAB实现（二维点）

function bezier(p0,p1,p2,p3)
%p0-p3是控制点
x_t = [];%存放曲线上x的坐标
y_t = [];%存放曲线上y的坐标
A = [-1 3 -3 1;3 -6 3 0;-3 3 0 0;1 0 0 0];
%三次的矩阵表示
for t = 0:0.001:1
    %遍历每个t
    x_it = [t^3 t^2 t 1] * A * [p0(1);p1(1);p2(1);p3(1)];
    y_it = [t^3 t^2 t 1] * A * [p0(2);p1(2);p2(2);p3(2)];
    x_t = [x_t,x_it]; %将本次计算的结果加入到结果矩阵中
    y_t = [y_t,y_it];
end
 
plot(x_t,y_t);

【例子】
example 1:

p0 = [4 2];
p1 = [7 10];
p2 = [16 19];
p3 = [41 21];
bezier(p0,p1,p2,p3);

example 2:

p0=[-10,40];
p1=[3,45];
p2=[56,6];
p3=[8,9];
bezier(p0,p1,p2,p3);