12月学习进度9/31——计算机图形学期末准备06四阶三次B样条曲线矩阵形式推导及MATLAB实现

Posted 2022-01-02 fu_GAGA

B样条曲线的递归定义

B样条曲线与给定的阶数 $k$ 和 节点向量都有关
↓
即使选取的阶数 $k$ 相同，但节点向量不同，则得到的曲线也不同

一些规律：

递推图示：

$k$ 阶B样条 $N_{i,k}(u)$ 可由两个 $k-1$ 阶 $N_{i,k-1}(u),N_{i+1,k-1}(u)$ 递推得到

系数的含义：

系数分别为
$$\frac{u-u_i}{u_{i+k-1}-u_i}$$
和
$$\frac{u_{i+k}-u_i}{u_{i+k}-u_{i+1}}$$
分母分别为两个 $k-1$ 阶基函数的支撑区间：

• $N_{i,k-1}(u)$ 的支撑区间为 $[u_i,u_{i+k-1})$
• $N_{i+1,k-1}(u)$ 的支撑区间为 $[u_{i+1},u_{i+k})$

分子为参数 $u$ 将 $N_{i,k}(u)$ 的支撑区间 $[u_i,u_{i+k})$ 划分为两部分

• $u-u_i$ 为参数 $u$ 距离左端节点位置
• $u_{i+k}-u$ 为参数 $u$ 距离右端节点位置

分子（距离）除以分母（区间长度）后，将距离归一化到 $(0,1)$ 之间
因此, $N_{i,p}(u)$ 是$N_{i,p-1}(u)$ 和 $N_{i+1,p-1}(u)$ 的线性组合，有两个系数，都在 $u$ 上是线性的，在0和1之间。

四阶均匀B样条曲线

1.计算四阶B样条基函数 $N_{i,4}(u)$

根据递推公式计算：

如上图所示，B样条基函数 $N_{i,4}(u)$ 由四段三次多项式曲线拼接而成。
四条三次多项式曲线如下图所示：
（分别为实线、虚线、点线、点划线）

其中B样条基函数 $N_{i,4}(u)$ 曲线为下图中红色曲线：

均匀B样条基函数在曲线定义域内各个节点区间上都有相同图形
（相同公式，其中所有的 $u_{i+1}-u_i$ 都相同）

上图可以分析B样条的局部控制特性
例：
第一个控制点 $P_i$ 只与 $N_{i,4}(u)$ 相乘（由B样条曲线定义式得），所以其影响 $N_{i,4}(u)$ 的支撑区间 $(u_i,u_{i+4})$ 上的曲线的形状

2. 简化函数形式

以其中一个节点区间 $[u_{i+3},u_{i+4})$ 为例：

上图中 $(i,j)$ 表示第 $i$ 个基函数的第 $j$ 段分片

上述公式中很多 $u-u_{i+j}$ 形式的因子
   ↓
   ↓ 令 $t_j=u-u_{i+j}$
   ↓
（仍以区间 $[u_{i+3},u_{i+4})$ 为例）
引入
$$t以上是关于12月学习进度9/31——计算机图形学期末准备06四阶三次B样条曲线矩阵形式推导及MATLAB实现的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$$

12月学习进度3/31—计算机图形学期末准备01拉格朗日插值 + 三次Hermite插值

12月学习进度7/31——计算机图形学期末准备04B样条曲线及其基函数的定义

12月学习进度8/31——计算机图形学期末准备05B样条曲线和基函数的性质

12月学习进度5/31——计算机图形学期末准备02规范化两点三次Hermite插值及MATLAB实现

12月学习进度4/31——计算机图形学拉格朗日插值的MATLAB实现

西南交通大学计算机图形学期末复习