12月学习进度8/31——计算机图形学期末准备05B样条曲线和基函数的性质

Posted 2022-01-02 fu_GAGA

（接上一篇 B样条及其基函数的定义）

B样条基函数的主要性质

1.局部支撑性（函数值非0）

2.权性

基函数的和为1（与Bezier曲线同）

3.连续性

$B_{i,k}(u)$ 在 $r$ 重节点处的连续阶不低于 $k-1-r$
（在一个有重复度 $r$ 的节点处，基函数 $B_{i,k}(u)$ 是 $C^{k-r}$ 连续的）

根据递归定义，在某个参数区间上，最多有多少个基函数不为0，则形成的多项式最高有多少次

每个不为0的基函数乘以递推公式的关于u的一次系数
（ 例：$(u-u_i)/(u_{i+k-1}-u_i)$ ）
所以 多项式次数 $=$ 非零基函数个数

B样条由多段函数多项式拼接而成，有些点重复（即多重节点）

1. $r$ 重节点（即 $r$ 个相邻节点相等$u_i=u_{i+1}=u_{i+2}=...=u_{i+r-1}$）
2. $[u_i,u_{i+1}),[u_{i+1},u_{i+2}),...[u_{i+r-2},u_{i+r-1})$区间长度为0，则其上的基函数为0，多项式次数降低，即阶数降低

图片原文链接

如下为基函数的计算图：

4.分段参数多项式

$B_{i,k}(u)$ 在每个长度非0的区间 $[u_i,u_{i+1})$ 上次数不高于 $k-1$ 次
其在整个参数轴上是分段多项式

B样条函数的主要性质

1.局部性

$k$ 阶B样条曲线上的一点至多只与 $k$ 个控制顶点有关，与其他控制顶点无关
↓
调整一个控制点 $P_i$ ，只影响定义与其有关的那段曲线
$P_i$ 只影响在区间 $[u_i,u_{i+p+1})$ 上的曲线 $C(u)$

（Bezier曲线“牵一发而动全身”）

2.凸包性

样条曲线包含在控制点构成的的凸包内
强：凸包区域 $\le$ 同一组控制点形成的Bezier凸包区域
（注：凸多边形——把多边形每条边延长，其他边都在其同一侧）

图片来源（B-样条曲线教程）

3.几何不变性

B样条曲线的形状与坐标系的选择无关

4.变分缩小性

如果曲线在平面(或空间)上，则没有直线(或平面) 与 B-样条曲线相交的次数多于它与曲线控制折线（polyline）相交的次数

即 直线与B样条曲线的交点数 $\le$ 直线与控制折线的交点数

图片来源（B-样条曲线教程）

• 蓝色直线：与B样条曲线相交6次，与控制折线相交6次
• 黄色直线：与B样条曲线相交5次，与控制折线相交5次
• 橘色直线：与B样条曲线相交4次，与控制折线相交6次

5.仿射不变性

（对于Bezier曲线成立）
一个仿射变换（平移+线性）作用于B样条曲线，可以直接对控制点进行变换，用得到的新的控制点，得到新的B样条曲线，而不需要对曲线进行变换。

原控制点 $P_1,P_2,...,P_n$ → 原B样条曲线
↓              ↓
↓ 仿射变换         ↓ 仿射变换
↓              ↓
新控制点 $P_1^{\prime },P_2^{\prime },...,P_n^{\prime }$ → 变换后B样条曲线

B样条曲线类型

1.均匀B样条曲线

节点沿参数轴均匀等距分布，即 $u_{i+1}-u_i=$ 常数 $>0$

均匀B样条的基函数呈周期性（给定 $n,k$ 后，所有基函数的形状相同，只是定义区间不同）

2.准均匀B样条曲线

与均匀B样条曲线的差别：两端节点具有重复度 $k$
例：

均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线在两个端点处的性质（下图 子图1）
准均匀B样条曲线解决了这一问题（下图 子图2）

图片来源于 B-样条曲线（B-spline Curves）教程

均匀B样条和准均匀B样条矩阵推导及拟合展示

3.分段Bezier曲线

节点向量中两端节点重复度为 $k$ ，内部节点重复度为 $k-1$

Bezier曲线是B样条曲线的特例
B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段有了相对独立性

4.非均匀B样条曲线

节点在参数轴上不等距