现代信号处理 15 - 谱分析基础和周期图谱分析

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谱分析基础和周期图谱估计

1. 什么是谱

  所谓的谱,就是把一个复杂的系统,按照某种指标进行分解。常见的谱就比如

  • 频谱:分解的指标是频率,信号在每一个频率上强度的大小
  • 光谱:分解的指标是光的波长,光在每一个波长上分量的大小
  • 抗菌谱:广谱/窄谱,是指能够对抗的细菌种类

  我们这里的谱针对的是随机信号/随机过程

  接下来,我们要解决两个问题

  • 确定信号中已经有了谱的概念,随机信号的概念是否可以直接搬过来呢?
  • 如果不能直接搬过来,要做哪些工作呢?

2. 确定信号的频谱

  我们先对确定信号的谱进行一个回顾。

2.1 周期信号的频谱

  我们先假设确定信号具有周期性

Period T X ( t + T ) = X ( t ) ∀ t \\textPeriod T \\\\ X(t+T) = X(t) \\quad \\forall t Period TX(t+T)=X(t)t

  周期信号可以做傅里叶级数展开。但是注意,一旦谈到傅里叶级数展开,就一定要规定区间。不谈区间的傅里叶级数展开都是耍流氓

X ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ α k e x p ( j 2 k π T t )  (Fourier Series) t ∈ [ − T 2 , T 2 ] X(t) = \\sum_k=- \\infty^+\\infty \\alpha_k exp(j\\frac2k\\piTt) \\quad \\text (Fourier Series) \\\\ t \\in [-\\fracT2,\\fracT2] X(t)=k=+αkexp(jT2kπt) (Fourier Series)t[2T,2T]
  我们对傅里叶级数展开具有两个认识

  第一,傅里叶级数展开是一种正交展开,因为傅里叶级数的基是有正交性的。这种正交性一定是体现在某一个区间上的。在这个区间上,基函数正交。基函数的内积如下

1 T ∫ − T 2 T 2 e x p ( j 2 k π T t ) e x p ( − j 2 m π T t ) d t = δ k m \\frac1T \\int_-\\fracT2^\\fracT2 exp(j\\frac2k\\piTt)exp(-j\\frac2m\\piTt)dt = \\delta_km T12T2Texp(jT2kπt)exp(jT2mπt)dt=δkm

  因为是正交的,这个展开的系数也非常好求,只要对傅里叶级数做内积,就能得到系数

α k = 1 T ∫ − T 2 T 2 X ( t ) e x p ( − j 2 k π T t ) d t \\alpha_k = \\frac1T\\int_-\\fracT2^\\fracT2 X(t)exp(-j\\frac2k\\piTt)dt αk=T12T2TX(t)exp(jT2kπt)dt

  第二个认识,这里1/T有专门的说法,叫做基频。周期函数并非在每一个位置都有能量,只有在基频整数倍的位置上,才有能量,因此,周期函数谱,被称为离散谱

2 π T o r 1 T  BaseBand Frequency Discrete Spectrum \\frac2\\piT\\quad or\\quad \\frac1T \\text BaseBand Frequency \\\\ \\textDiscrete Spectrum T2πorT1 BaseBand FrequencyDiscrete Spectrum

2.2 非周期信号的频谱

  我们在周期信号的基础上,对我们的认识继续延伸

  也就是从周期信号延伸到非周期信号。就是令T趋近于无穷大。一旦周期函数的周期趋近于无穷大,也就变成了非周期函数

  我们来看一下,从周期函数变化到非周期函数,到底有哪些特性发生了变化

  我们把周期信号的系数用积分的形式进行代入

P e r i o d i c → N o n − P e r i o d i c T → ∞ X ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ ( 1 T ∫ − T 2 + T 2 X ( s ) e x p ( − j 2 k π T s ) d s ) e x p ( j 2 k π T t ) [ − T 2 , − T 2 ] Periodic \\rightarrow Non-Periodic \\\\ T \\rightarrow \\infty X(t) = \\sum_k=-\\infty^+\\infty(\\frac1T \\int_-\\fracT2^+\\fracT2 X(s)exp(-j\\frac2k\\piTs)ds )exp(j\\frac2k\\piTt) \\quad\\quad [-\\fracT2,-\\fracT2] PeriodicNonPeriodicTX(t)=k=+(T12T+2TX(s)exp(jT2kπs)ds)exp(jT2kπt)[2T,2T]

  我们可以对非周期函数的傅里叶级数展开进行变换

X ( t ) = 1 2 π ∑ k = − ∞ + ∞ ( ∫ − T 2 + T 2 X ( s ) e x p ( − j 2 k π T s ) d s ) e x p ( j 2 k π T t ) 2 π T [ − T 2 , − T 2 ] X(t) = \\frac12\\pi\\sum_k=-\\infty^+\\infty(\\int_-\\fracT2^+\\fracT2 X(s)exp(-j\\frac2k\\piTs)ds )exp(j\\frac2k\\piTt)\\frac2\\piT \\quad\\quad [-\\fracT2,-\\fracT2] X(t)=2π1k=+(2T+2TX(s)exp(jT2kπs)ds)exp(jT2kπt)T2π[2现代信号处理 19 -谱分析的参数化方法

现代信号处理 16 - 谱表示与PSWF表示

求matlab周期三角波信号频谱分析的代码,能画出三角波信号、幅度谱和相位谱。

现代信号处理17 - 基于滤波器组的谱估计

谱分析中窗的选取

随机过程 3 - 随机过程的频域分析1 - 功率谱