现代信号处理 16 - 谱表示与PSWF表示

Posted 2021-12-28 Ciaran-byte

谱表示与长球面波函数PSWF

文章目录

• 谱表示与长球面波函数PSWF
• • 1. 问题引入
  • 2. 随机矢量去相关化与KL展开
  • 3. 随机过程的KL展开与谱表示
  • • 3.1 泛函分析概述
    • 3.2 特征函数与积分方程
    • 3.3 宽平稳周期性随机过程的KL展开
    • 3.4 宽平稳非周期性随机过程的KL展开与谱表示
  • 4. 谱表示与功率谱密度的联系
  • • 4.1 从谱表示到功率谱密度
    • 4.2 从谱表示到功率谱密度的线性响应
  • 5. 基于PSWF与谱表示进行谱估计
  • • 5.1 基于谱表示进行谱估计
    • 5.2 基本方程的求解
    • • 5.2.1 线性方程的求解
      • 5.2.2 线性积分方程的求解--PSWF
  • 6. 小结

1. 问题引入

  这一部分会引入PSWF (Prolate Spherical Wave Function)的方法进行谱估计。我们这里会使用到特征函数这个重要概念

$$\text{Prolate Spherical Wave Function}$$

  首先，我们对随机信号的谱分析进行一下回顾。

  与确定信号相比，由于随机信号的傅里叶变换存在不收敛的问题，因此，我们没有办法把确定性信号的傅里叶分析方法使用在随机信号上。

  但是我们前面也介绍过，为了解决这个问题，我们可以使用两个思路

  第一个思路是使用功率谱密度的方法，但是相对于频谱，使用功率谱密度损失也会非常大。首先，功率谱密度是个二阶量，这样就意味着二阶量没有线性形式。其次， 这个变换是不保真的，损失了相位信息，变换是不可逆的。不过功率谱密度最终可以得到一个良好的性质

  第二个思路就是使用谱表示的方法。谱表示更加接近随机过程的表示方法，我们会在这里对谱表示进行一个适当的介绍，并且基于谱表示介绍基于PSWF的方法进行谱估计。

  谱表示(Spectral Representation)一般认为是瑞典学者Cramer首先研究的。

$$\text{Spectral Representation}$$

2. 随机矢量去相关化与KL展开

  我们首先从一个随机矢量的去相关化问题开始介绍。

  假设我们有一个随机矢量Z，Z的各个维度都是随机变量

$$\begin{gathered} Z=(z_1,...,z_n{)}^T\in R^n{z}_{k}r.v. \\ E(z_i{z}_j)=r_{ij}\cancel{=}0 \end{gathered}$$

  一般来说随机矢量都是有相关性的，也就是z_k不但是随机变量，并且彼此之间是相关的。

  但是现在我们希望能够找到一个函数，一个从n维空间映射到n维空间的函数，使得随机矢量Z映射成为另外一个随机矢量，并且这个随机矢量的各个分量之间没有相关性

$$\begin{gathered} g:R^n\to R^n \\ Y=g(Z)\to E(Y_i{Y}_j)=r_i{\delta }_{ij}=\begin{array}{ll}{r}_i& i=j\\ 0& i\cancel{=}j\end{array} \end{gathered}$$

  我们做的这个映射叫做白化，也叫做正交化

$$\begin{gathered} \text{Whitening} \\ \text{Orthogonal} \end{gathered}$$

  这里我们把映射g简化为线性变换

$$\begin{gathered} g(Z)=AZA\in R^{n\ast n} \\ Y=AZ \\ E(Y_i{Y}_j)=r_i{\delta }_{ij} \end{gathered}$$

  这看起来像是个欠定问题，因为方程A中有n*n个未知数，而方程只有n*(n-1)/2个

  我们求一下Y的相关矩阵

$$Y=AZ\Rightarrow R_Y=E(Y{Y}^T)=E(AZ{Z}^{T}A)=AE(Z{Z}^T)A^T=A{R}_Z{A}^T$$

  如果不相关，那么Y的相关矩阵应该是一个对角阵

$$R_Y=A{R}_Z{A}^T=\Lambda \Lambda =diag(i)$$

  由于R_Z是一个可三角化的对称矩阵，可以做特征分解(谱分解)，得到一个正交的特征矩阵

$$R_Z=U\Lambda U^T$$

  该式子可以化为

$$U^T{R}_{Z}U=\Lambda =diag({\lambda }_1,...,{\lambda }_n)(ii)$$

  对比(i)和(ii)，我们可以求得这个线性变换A

$$\begin{gathered} A=U^T \\ U=(u_1,...,u_n) \end{gathered}$$

  基于这种方法，我们就得到了随机矢量的去相关化

$$Y=AZ\Rightarrow Y=U^{T}Z\Rightarrow Z=UY\Rightarrow Z=\sum _{k=1}^n{y}_k{u}_k$$

  我们发现，我们可以使用一组正交规范基去对Z进行展开。其中U是正交规范基

  y是个标量，也是个随机变量，y在随机变量空间中，同样也是正交的

  因此这里对Z的展开是一个正交展开，我们把这个展开叫做Karhumen-Loeve expansion

$$\text{Karhumen-Loeve expansion }$$

3. 随机过程的KL展开与谱表示

3.1 泛函分析概述

  在了解了随机矢量的KL展开之后，我们现在希望把研究的问题从随机矢量扩展到随机过程上去

Z ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ α k ϕ k ( t ) Z(t) = \\sum_k=-\\infty^+\\infty \\alpha_k \\phi_k(t) Z(t)=随机过程 4 -随机过程的频域分析2 - 谱表示

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