随机过程 3 - 随机过程的频域分析1 - 功率谱
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了随机过程 3 - 随机过程的频域分析1 - 功率谱相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
随机过程的频域分析
文章目录
1. 什么是谱
所谓的谱，就是把一个复杂的系统，按照某种指标进行分解。常见的谱就比如
- 频谱:分解的指标是频率，信号在每一个频率上强度的大小
- 光谱：分解的指标是光的波长，光在每一个波长上分量的大小
- 抗菌谱：广谱/窄谱，是指能够对抗的细菌种类
我们这里的谱针对的是随机信号/随机过程
接下来，我们要解决两个问题
- 确定信号中已经有了谱的概念，随机信号的概念是否可以直接搬过来呢?
- 如果不能直接搬过来，要做哪些工作呢?
2. 确定信号的频谱
我们先对确定信号的谱进行一个回顾。
2.1 周期信号的频谱
我们先假设确定信号具有周期性
Period T X ( t + T ) = X ( t ) ∀ t \\textPeriod T \\\\ X(t+T) = X(t) \\quad \\forall t Period TX(t+T)=X(t)∀t
周期信号可以做傅里叶级数展开。但是注意，一旦谈到傅里叶级数展开，就一定要规定区间。不谈区间的傅里叶级数展开都是耍流氓。因为这个傅里叶展开只在一个周期内是有效的。如果超出这个周期，就是周期性延拓了。
X
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
α
k
e
x
p
(
j
2
k
π
T
t
)
(Fourier Series)
t
∈
[
−
T
2
,
T
2
]
X(t) = \\sum_k=- \\infty^+\\infty \\alpha_k exp(j\\frac2k\\piTt) \\quad \\text (Fourier Series) \\\\ t \\in [-\\fracT2,\\fracT2]
X(t)=k=−∞∑+∞αkexp(jT2kπt) (Fourier Series)t∈[−2T,2T]
我们对傅里叶级数展开具有两个认识
第一，傅里叶级数展开是一种正交展开，因为傅里叶级数的基是有正交性的。这种正交性一定是体现在某一个区间上的。在这个区间上，基函数正交。基函数的内积如下
1 T ∫ − T 2 T 2 e x p ( j 2 k π T t ) e x p ( − j 2 m π T t ) d t = δ k m \\frac1T \\int_-\\fracT2^\\fracT2 exp(j\\frac2k\\piTt)exp(-j\\frac2m\\piTt)dt = \\delta_km T1∫−2T2Texp(jT2kπt)exp(−jT2mπt)dt=δkm
因为是正交的，这个展开的系数也非常好求，只要对傅里叶级数做内积，就能得到系数
α k = 1 T ∫ − T 2 T 2 X ( t ) e x p ( − j 2 k π T t ) d t \\alpha_k = \\frac1T\\int_-\\fracT2^\\fracT2 X(t)exp(-j\\frac2k\\piTt)dt αk=T1∫−2T2TX(t)exp(−jT2kπt)dt
第二个认识，这里1/T有专门的说法，叫做基频。周期函数并非在每一个位置都有能量，只有在基频整数倍的位置上，才有能量，因此，周期函数谱，被称为离散谱
2 π T o r 1 T BaseBand Frequency Discrete Spectrum \\frac2\\piT\\quad or\\quad \\frac1T \\text BaseBand Frequency \\\\ \\textDiscrete Spectrum T2πorT1 BaseBand FrequencyDiscrete Spectrum
2.2 非周期信号的频谱
我们在周期信号的基础上，对我们的认识继续延伸
也就是从周期信号延伸到非周期信号。就是令T趋近于无穷大。一旦周期函数的周期趋近于无穷大，也就变成了非周期函数
我们来看一下，从周期函数变化到非周期函数，到底有哪些特性发生了变化
我们把周期信号的系数用积分的形式进行代入
P e r i o d i c → N o n − P e r i o d i c T → ∞ X ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ ( 1 T ∫ − T 2 + T 2 X ( s ) e x p ( − j 2 k π T s ) d s ) e x p ( j 2 k π T t ) [ − T 2 , − T 2 ] Periodic \\rightarrow Non-Periodic \\\\ T \\rightarrow \\infty X(t) = \\sum_k=-\\infty^+\\infty(\\frac1T \\int_-\\fracT2^+\\fracT2 X(s)exp(-j\\frac2k\\piTs)ds )exp(j\\frac2k\\piTt) \\quad\\quad [-\\fracT2,-\\fracT2] Periodic→Non−PeriodicT→∞X(t)=k=−∞∑+∞(T1∫−2T+2TX(s)exp(−jT2kπs)ds)exp(jT2kπt)[−2T,−2T]
我们可以对非周期函数的傅里叶级数展开进行变换
X ( t ) = 1 2 π ∑ k = − ∞ + ∞ ( ∫ − T 2 + T 2 X ( s ) e x p ( − j 2 k π T s ) d s ) e x p ( j 2 k π T t ) 2 π T [ − T 2 , − T 2 ] X(t) = \\frac12\\pi\\sum_k=-\\infty^+\\infty(\\int_-\\fracT2^+\\fracT2 X(s)exp(-j\\frac2k\\piTs)ds )exp(j\\frac2k\\piTt)\\frac2\\piT \\quad\\quad [-\\fracT2,-\\fracT2] X(t)=2π1k=−∞∑+∞(∫−2T+2TX(s)exp(−jT2kπs)ds)exp(jT2kπt)T2π[−2T,−以上是关于随机过程 3 - 随机过程的频域分析1 - 功率谱的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章