四个基本子空间

Posted 2021-10-20 ^_^|

基本概念

矩阵A(m*n)的四个基本子空间分别为：
列空间：A的列的所有线性组合
零空间：Ax=0的左右解空间
行空间：A的行的所有线性组合
A转置的零空间（左零空间）：A转置的零空间

	列空间	行空间	零空间	左零空间
基	主列	主元所在行	解向量	转置后算出的解向量
维数	rank(A)=r	rank(A)=r	n-rank(A)	m-rank(A)

正交关系

正交即向量$uv=0$
记$W^{\perp }$为正交补，表示与子空间$W$正交的所有向量的集合。
所以对$W^{\perp }$中的任意向量$u$都与$W$中的任意向量$v$正交，$uv=0$

有了上面的铺垫，我们给出重要结论：
$$\begin{gathered} 假设A是m\times n矩阵，那么A的行空间的正交补是A的零空间，且A的列空间的正交补是A^T的零空间： \\ (RowA{)}^{\perp }=NulA且(ColA{)}^{\perp }=Nul{A}^T \end{gathered}$$
证明如下：
Nul A表示A的零空间，由计算$Ax=0$的解得到，因此，向量$x$与$A$中的每一行都正交。由于A的行生成行空间，故向量$x$与$RowA$正交。反之，如果$x$与$RowA$正交，那么$x$当然与$A$的每一行正交，因此$Ax=0$，从而得证第一个结论。另一个，转置后可以同理得证。

关于行空间和列空间的一点补充

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 3& 1\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=R$$

经过行变换后，没有改变的A的列之间的关系
A的列空间 $\ne$ R的列空间
A的行空间 $=$ R的行空间

A的列空间的基为A主元所在列$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right]$
A的行空间的基为A/R主元所在行$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 0\end{array}\right]或者\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 1\end{array}\right]$