麻省理工公开课:线性代数 第10课 四个基本子空间

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了麻省理工公开课:线性代数 第10课 四个基本子空间相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

参考资料:

网易公开课:http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html  麻省理工公开课:线性代数

教材:Introduction to Linear Algebra, 4th edition  by Gilbert Strang

链接:https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg 
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假设:$m imes n$矩阵$A$

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一、矩阵$A$的列空间:$C(A)$

(1)是$R^m$的子空间

(2)维数:矩阵$A$的秩$r$  //$Amathbf{x}=0$主元变量的数目

(3)基:$r$个主列

二、矩阵$A$的零空间:$N(A)$

(1)是$R^n$的子空间

(2)维数:$Amathbf{x}=0$自由变量的数目$n-r$

(3)基:自由变量对应的$n-r$个特解

三、矩阵$A$的行空间:$C(color{red}{A^T})$  //矩阵$A$所有行的线性组合;或者矩阵$A$的转置$A^T$所有列的线性组合

(1)是$R^n$的子空间

(2)维数:矩阵$A^T$的秩$r$  //$rank(A)=rank(A^T)$

(3)基:行最简矩阵$R$的前$r$行  //不一定是$A$的前$r$行

注:矩阵$A$和行最简矩阵$R$的行空间相同($C(A^T)=C(R^T)$),列空间不同($C(A) eq C(R)$)  //“行变换”不影响行空间(基一致),但是会改变列空间

四、矩阵$A$的转置的零空间:$N(color{red}{A^T})$  //左零空间:$A^Tmathbf{y}=mathbf{0} Rightarrow color{red}{mathbf{y}^TA=mathbf{0}^T}$

(1)是$R^m$的子空间

(2)维数:$m-r$

(3)基:变换矩阵$E$的最下方$m-r$行

  利用高斯-约旦消元法(第3课)求解变换矩阵$E$使得$EA=R$  //当m=n,且$A$可逆时,$R=I, E=A^{-1}$

技术分享图片  变换矩阵$E$的最下方$m-r$行正是使得$A$各行线性组合为0的系数(左乘相当于行组合),即为矩阵$A^T$零空间的基

示例:

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  • 行空间的基为$R$的前$r=2$行:$[1~0~1~1]^T$和$[0~1~1~0]^T$
  • 左零空间的基为$E$的最后$m-r=3-2=1$行:$[-1~0~1]^T$

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五、新型向量空间$M$

(1)定义:所有$3 imes 3$矩阵  //将矩阵视为“向量”

(2)满足向量空间的八条运算法则:如对加法和数乘封闭等

(3)子空间:所有上三角矩阵、所有对称矩阵、所有对角矩阵$D$(前两者交集)  //$D$的维数为3

 


以上是关于麻省理工公开课:线性代数 第10课 四个基本子空间的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

麻省理工公开课:线性代数 第7课 求解Ax=0:主变量特解

麻省理工公开课:线性代数 第6课 列空间和零空间

麻省理工公开课:线性代数 第8课 求解Ax=b:可解性和解的结构

线性代数导论35——线性代数全总结(麻省理工公开课:线性代数)

第一课 矩阵的行图像与列图像(麻省理工公开课:线性代数)转载

线性代数导论向量介绍