10-四个基本子空间

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了10-四个基本子空间相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、定义

 矩阵$A$为$m$行$n$列

 1)列空间$C(A)$,一个$R^m$的子空间,由所有列的线性组合构成,维数为 $r$

    • 列空间可以表示为$r$个主元的线性组合,即列空间的维数为$r$

 2)行空间$C(A^T)$,一个$R^n$的子空间,由所有行的线性组合构成,维数为 $r$

    • 转置后,矩阵的秩不变,所以此时行空间的维数为$r$

 3)零空间$N(A)$,一个$R^n$的子空间,由所有$Ax=0$的解的线性组合构成,维数为 $(n-r)$

    • 因为秩为$r$,则自由变量的个数为$n-r$,有几个自由变量,零空间就可以表示几个特解的线性组合,也即是零空间的维数为自由变量的个数

 4)左零空间$N(A^T)$,一个$R^m$的子空间,由所有$A^Ty=0$或者$y^TA=0^T$的解的线性组合构成,维数为  $(m-r)$

    • 由于秩为r,则自由变量的个数为$m-r$,即左零空间的维数为$m-r$

 

二、实例

 假设矩阵$A$为:

$A=left[egin{array}{llll}{1} & {2} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {2} & {1} \\ {1} & {2} & {3} & {1}end{array} ight]$

 经过高斯消元得到行最简式$R$

$A=left[egin{array}{llll}{1} & {2} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {2} & {1} \\ {1} & {2} & {3} & {1}end{array} ight] ightarrow R=left[egin{array}{llll}{1} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}end{array} ight]$

 于是我们知道矩阵的秩为2,则其列空间,行空间的维数都是2,零空间的维数为4-2=2,左零空间的维数为3-2=1

 

 

 很明显,矩阵A的列中,前两列是线性无关的,则其列空间可以由前两列来表示。同理,前两行是线性无关的,其行空间可以有前两行来表示

 由于只有两个主元,则自由变量个数为4-2=2,所以零空间的特解有两个,零空间可以由这两个特解的线性组合来表示

 由于左零空间可以看成是$A^Tx=0$的线性组合,则有:

$A^{T} x=0 ightarrowleft(A^{T} x ight)^{T}=0^{T} ightarrow x^{T} A=0$

 

 我们知道初等行变换不改变矩阵的行空间,但可能改变其列空间(因为行变换是行向量的线性组合),并且消元过程可以表示如下:

$E A=R$

$E=left[egin{array}{ccc}{-1} & {2} & {0} \\ {1} & {-1} & {0} \\ {-1} & {0} & {1}end{array} ight]$

$left[egin{array}{ccc}{-1} & {2} & {0} \\ {1} & {-1} & {0} \\ {-1} & {0} & {1}end{array} ight]left[egin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {2} & {1} \\ {1} & {2} & {3} & {1}end{array} ight]=left[egin{array}{cccc}{1} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}end{array} ight]$

技术图片

 

 我们可以看出,初等矩阵$E$的第三行与$A$相乘得到的是0向量即

$left[egin{array}{ccc}{-1} & {0} & {1}end{array} ight]left[egin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {2} & {1} \\ {1} & {2} & {3} & {1}end{array} ight]=left[egin{array}{cccc}{0} & {0} & {0} & {0}end{array} ight]$

 对比下式:

$x^{T} A=0$

可以求得$x$的值:

$x=left[egin{array}{c}{-1} \\ {0} \\ {1}end{array} ight]$

这个$x$就是左零空间的基,因此左零空间的维数为3-2=1

 

三、致谢

 本文参考,感谢作者的分享,知识共享,改变世界!

以上是关于10-四个基本子空间的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

麻省理工公开课:线性代数 第10课 四个基本子空间

33线性空间07——四个基本子空间的基与维数

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