四个基本空间

Posted 2021-03-05 lilpig

概述

讨论矩阵的四个基本子空间，通过维数和基来深入了解四个子空间。

列空间

列空间我们都熟悉了，就是矩阵列线性组合组成的空间。

• 位于: (R^m)空间
• 维数：r
  
• 一组基：主元列

零空间

零空间也并不陌生，使(Ax=0)的所有x组成的空间

• 位于: (R^n)空间
• 维数: n-r
• 一组基: 特解

行空间

行空间可以看作(A^T)的列空间

一个有趣的性质是一个矩阵的秩如果是r，那么它的转置的秩也是R，所以行空间的维数得到了。是m-r

从基的定义我们知道，对于行空间的一组基，其实就是那些线性无关行组成的集合，那不正是简化行阶梯型(rref)中的非零行嘛，也就是前r行。

• 位于: (R^n)空间
• 维数: r
• 一组基: rref中的前r行

左零空间

左零空间是行空间的零空间，也可以看作(A^T)的零空间，也就是使得(A^Ty=0)的所有y组成的空间

为啥叫左零空间？？因为(A^Ty=0)可以看作((A^Ty)^T=0^T)，也就是(y^TA=0)。

再重复一遍这个公式：(y^TA=0)

嘶根据矩阵的乘法规则，那(y^T)不就是简化行阶梯中的零行所对应消元矩阵嘛的行嘛。

所以用高斯若尔当法求出消元矩阵，再取后m-r行就可以了嘛。。。

• 位于: (R^m)空间
• 维数: m-r
• 一组基：A消元矩阵的后m-r行

参考资料

MIT线性代数公开课 p10 - bilibili