一文彻底搞懂快速幂(原理实现矩阵快速幂)

Posted 2021-09-05 Big sai

前言

大家好，我是bigsai，之前有个小老弟问到一个剑指offer一道相关快速幂的题，这里梳理一下讲一下快速幂！

快速幂是什么？

顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。你可能疑问，求n次幂算n次叠乘不就行了？当n巨大无比时候，如果需要末尾有效尾数值等信息这个可能超出计算机运算范围。

有多快？

快速幂时间复杂度为 O(log₂n)， 与朴素的O(n)相比效率有了极大的提高(int 范围10位长度数字32次之内就能搞定，long 范围20位长度数字64次之内也能搞定，你看有多快)。

用的多么？

快速幂属于数论的范畴，本是ACM经典算法，但现在各厂对算法的要求越来越高，并且快速幂适用场景也比较低多并且相比朴素方法有了非常大的提高，所以掌握快速幂算法已经是一名更合格的工程师必备要求！

下面来详细看看快速幂算法吧！

快速幂介绍

先看个问题再说：

初探

首先问你一个问题，如果让你求 (2^10)%1000你可能会这样写：

int va=1;
for(int i=0;i<10;i++)
{
  va*=2;
}
System.out.println(va%10000);

熟悉的1024没问题，总共计算了10次。但是如果让你算 (2^50)%10000呢？

你可能会窃喜，小样，这就想难住我？我知道int只有32位，50位超出范围会带来数值越界的异常，我这次可以用long，long有64位呢！

long va=1;
for(int i=0;i<50;i++)
{
  va*=2;
}
System.out.println(va);
System.out.println(va%10000);

计算50次出了结果正当你暗暗私喜的时候又来了一个要命的问题：让你算 (2^1e10)%10000 且不许你用Java大数类，你为此苦恼不知所措。这时bigsai小哥哥让你百度下取模运算，然后你恍然大悟，在纸上写了几个公式：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p  （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p  （3）
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p        （4）

你还算聪明一眼发现其中的规律：

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p   (3)
(2*2*2···*2) %1e10=[2*(2*2···*2)]%1e5=(2%1e5)*(2*2···*2%le5)%1e5

凭借这个递推你明白：每次相乘都取模。机智的你pia pia写下以下代码，却发现另一个问题：怎么跑不出来？

咱们打工人需要对计算机运行速度和数值有一个大致的概念。循环体中不同操作占用时间不同，所以当你的程序循环次数到达1e6或1e7的时候就需要非常非常小心了。如果循环体逻辑或者运算较多可能非常非常慢。

快速幂探索

机智的你不甘失败，开始研究其数的规律，将这个公式写在手上、膀子上、小纸条上。吃饭睡觉都在看：

然后你突然发现其中的奥秘，n次幂可以拆分成一个平方计算后就剩余n/2的次幂了：

现在你已经明白了快速幂是怎么回事，但你可能有点上头，还是给我讲了很多内容：

快速幂实现

至于快速幂已经懂了，我们该怎么实现这个算法呢？

说的不错，确实有递归和非递归的实现方式，但是递归使用的更多一些。在实现的时候，注意一下奇偶性、停止条件就可以了，奇数问题可以转换为偶数问题：

2*2*2*2*2=2 * (2*2*2*2) 奇数问题可以转化为偶数问题。

这里，递归的解法如下：

long c=10000007;
public  long divide(long a, long b) {
		if (b == 0)
			return 1;
		else if (b % 2 == 0) //偶数情况
			return divide((a % c) * (a % c), b / 2) % c;
    else//奇数情况
			return a % c * divide((a % c) * (a % c), (b - 1) / 2) % c;
	}

非递归实现也不难，控制好循环条件即可：

//求 a^b%1000000007
long c = 1000000007;
public  long divide(long a, long b) {
  a %= c;
  long res = 1;
  for (; b != 0; b /= 2) {
    if (b % 2 == 1)
      res = (res * a) % c;
    a = (a * a) % c;
  }
  return res;
}

对于非递归你可能有点模糊为啥偶数情况不给res赋值。这里有两点：

• 为奇数的情况res仅仅是收集相乘那个时候落单的a
• 最终b均会降到1，a最终都会和res相乘，不用担心会漏掉
• 理想状态一直是偶数情况，那最后直接获得a取模的值即可。

如果还是不懂，可以用这个图来解释一下：

矩阵快速幂

你以为这就结束了？虽然快速幂主要内容就是以上内容，但是总有很多牛人能够发现很有趣的规律—矩阵快速幂。如果你没听过的话建议仔细看看了解一下。

大家都知道斐波那契数列： 的规则：

前几个斐波那契的数列为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

斐波那契从递推式就可以看出是指数级别的增长，所以稍微多几个数字就是爆炸式增长，所以很多时候也会要求最后几位的结果。有了前面模运算公式溢出就不成问题，但n如果非常非常大怎么快速计算就成了一个新的问题。

我们看下面一组公式：

f(n+1) = f(n)   + f(n-1)
f(n)   = f(n)

如果那f(n)和f(n-1)放到一个矩阵中(一行两列)：[f(n+1),f(n)] 能否找到和[f(n),f(n-1)]之间的什么规律呢？

答案是存在规律的，看上面的公式知道

[f(n+1),f(n)]
=[f(n)+f(n-1),f(n)]

                 [1  1]
=[f(n),f(n-1)]  *      
                 [1  0]
                 
                 [1  1] [1   1]
=[f(n-1),f(n-2)]*      *
                 [1  0] [1   1]  

=·······           

所以现在你可以知道它的规律了吧，这样一直迭代到f(2),f(1)刚好都为1，所以这个斐波那契的计算为：

而这个矩阵有很多次幂，就可以使用快速幂啦，原理一致，你只需要写一个矩阵乘法就可以啦,下面提供一个矩阵快速幂求斐波那契第n项的后三位数的模板，可以拿这个去试一试poj3070的题目啦。

public int Fibonacci(int n)
    {
        n--;//矩阵为两项
        int a[][]= {{1,1},{1,0}};//进行快速幂的矩阵
        int b[][]={{1,0},{0,1}};//存储漏单奇数、结果的矩阵，初始为单位矩阵
        int time=0;
        while(n>0)
        {
            if(n%2==1)
            {
                b=matrixMultiplication(a, b);
            }
            a=matrixMultiplication(a, a);
            n/=2;
        }
        return b[0][0];
    }
 public  int [][]matrixMultiplication(int a[][],int b[][]){//
        int x=a.length;//a[0].length=b.length 为满足条件
        int y=b[0].length;//确定每一排有几个
        int c[][]=new int [x][y];
        for(int i=0;i<x;i++)
            for(int j=0;j<y;j++)
            {
                //需要确定每一个元素
                //c[i][j];
                for(int t=0;t<b.length;t++)
                {
                    c[i][j]+=(a[i][t]%10000)*(b[t][j]%10000);
                    c[i][j]%=10000;
                }
            }
        return c;
    }

小试牛刀

在力扣(剑指offer16数值的整数次方)上就有一道快速幂的问题，我们用学的东西巩固一下：

实现 pow(x n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，x^n）。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。

这个简单题需要考虑一些特殊情况：

• n正负性
• 边界(int最大和最小)

在实现上首先判断n正负，将负次幂转成正次幂。如果中转一层long处理就不会出现这些问题。

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        if(n==0)
            return 1;
        if(n==1)
            return x;
        if(n<0){
            return (1/x)*myPow((1/x),-(n+1));//不要-n-1会溢出
        }
        if(n%2==0)
            return myPow(x*x,n/2);
        else
            return x*myPow(x*x,(n-1)/2);
    }
}

结语

这篇到这里就肝完啦，其实快速幂的内容还不止这么多，尤其是矩阵快速幂，会有着各种巧妙的变形，不过跟数学有一些关系，在力扣上比较少，但是在其他OJ上快速幂题目还是很多的可以自行找一下刷一刷。

关于作者：bigsai,在读研一，手握腾讯、字节实习offer，蓝桥杯国一选手，专注于数据结构与算法、Java领域的知识分享，喜欢用图将复杂内容简单化，有同名公众号**【bigsai】，坚持输出干货，如果有学习、实习、考研、选择**等问题欢迎交流！