快速幂计算（整数快速幂/矩阵快速幂）

Posted 2020-08-09 ygeloutingyu

 

//*************快速幂计算****************************************

 

朴素算法实现：

 1 ll get_pow(ll x, ll n)  //** (这里的n要求不小于0，如果n小于0则令n=-n，并且最终返回1.0/ans即可)
 2 {
 3     ll ans=1;
 4     while(n--)
 5     {
 6         ans*=x%MAX;
 7         ans%=MAX;
 8     }
 9     return ans;
10 }

 

 

快速幂算法：

原理：

二分：

假设我们现在要计算pow(x,n），那么有当n为偶数时pow(x, n)==pow(x*x, n/2)，当n为奇数时，pow(x, n)==pow(x, n-1)*x, 此时n-1为偶数，可按前面的公式继续迭代；

循环往复，即可计算出答案；

 

二进制：

计算pow(x,n)，先将n转化为二进制形式，n=2^a+2^b....

例如：计算pow(x,21)，19=2^4+2^2+2^1；其中2^2可以由(2^1)*(2^1)得到，同理, 2^4可以由(2^2)*(2^2)得到；

所有有pow(x,21)==x^(2^4+2^2+2^1)，其时间复杂度为o(long2(n));

 

以上两种思路的出发点不同，不过其本质一致，代码也相同；

 

代码：

 1 ll get_pow(ll x, ll n)  //** (这里的n要求不小于0，如果n小于0则令n=-n，并且最终返回1.0/ans即可)
 2 {
 3     int ans=1;
 4     while(n)
 5     {
 6         if(n&1)
 7         {
 8             ans=(ans*x)%MAX;
 9         }
10         x=(x*x)%MAX;
11         n>>=1;
12     }
13     return ans;
14 }

 

 

//*********************矩阵快速幂计算**********************************

矩阵快速幂和快速幂算法原理一样，只是操作对象换成了矩阵；

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=148（题目链接）

 

ac代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define MAXN 2
 3 #define mod 10000
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 
 7 struct Matrix
 8 {
 9     ll x[MAXN][MAXN];
10 };
11 
12 Matrix temp={1, 1, 1, 0};
13 
14 ll n;  //***n为幂数，结果对mod取模
15 
16 Matrix multi(Matrix a, Matrix b) //***矩阵乘法
17 {
18     Matrix c;
19     memset(c.x, 0, sizeof(c.x));
20     for(int i=0; i<MAXN; i++)
21     {
22         for(int j=0; j<MAXN; j++)
23         {
24             for(int k=0; k<MAXN; k++)
25             {
26                 c.x[i][j]+=(a.x[i][k]*b.x[k][j])%mod;
27             }
28         }
29     }
30     return c;
31 }
32 
33 ll Pow(ll n)
34 {
35     Matrix ans;
36     temp.x[0][0]=temp.x[0][1]=temp.x[1][0]=1;
37     temp.x[1][1]=0;
38     memset(ans.x, 0, sizeof(ans.x));
39     ans.x[0][0]=ans.x[1][1]=1;
40     while(n)
41     {
42         if(n&1) ans=multi(ans, temp);
43         temp=multi(temp, temp);
44         n>>=1;
45     }
46     return ans.x[0][1];
47 }
48 
49 int main(void)
50 {
51     std::ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
52     while(cin >> n && n!=-1)
53     {
54         cout << Pow(n)%mod << endl;
55     }
56     return 0;
57 }