矩阵快速幂

Posted 2020-10-22 jadelemon

 

矩阵快速幂讲解

若求斐波那契数列第n项的数值，我们可以递推求得，若n值(>1e10)很大,我们一个一个求，一定会超时，下面讲解一下用矩阵快速幂求解

矩阵快速幂就是：求矩阵A^n的矩阵，如同快速幂一样，代码极其相似，将快速幂中的整数乘法改为矩阵的乘法即可

矩阵乘法：                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

其中c[i][j]为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应想乘的和，即

矩阵乘法代码实现如下：

Matrix multiplicative(Matrix a,Matrix b){
    Matrix res;
    memset(res.matrix,0,sizeof(res.matrix));
    for(int i = 0 ; i < n ; i++)
        for(int j = 0 ; j < n ; j++)
            for(int k = 0 ; k < n ; k++)
                res.matrix[i][j] += a.matrix[i][k]*b.matrix[k][j];
    return res;
}

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矩阵快速幂代码如下：

Matrix pow(Matrix mx,int m){
    Matrix res,base=mx;
    init(res); //初始为单位矩阵，即除主对角线都是1外，其他都是0
    while(m)
    {
        if(m&1)
            res=multiplicative(res,base);
        base=multiplicative(base,base);
        m>>=1;
    }
    return res;
}

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斐波那契数列递推式为F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>=2)

F(0)=0,F(1)=1 

根据递推式我们可以列出两个方程：F(n)=F(n-1)+F(n-2）和F(n-1)=F(n-2)+F(n-3）

由此

即

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#define LL long long
#define M 10
#define MOD 1000000007
struct Matrix{
    LL matrix[M][M];
};
int n;//矩阵的阶数 
void init(Matrix &res){
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=n;j++)
            res.matrix[i][j]=0;
        res.matrix[i][i]=1;
    }
}
Matrix multiplicative(Matrix a,Matrix b){
    Matrix res;
    memset(res.matrix,0,sizeof(res.matrix));
    for(int i = 0 ; i < n ; i++)
        for(int j = 0 ; j < n ; j++)
            for(int k = 0 ; k < n ; k++)
                res.matrix[i][j] =(res.matrix[i][j]%MOD+a.matrix[i][k]%MOD*b.matrix[k][j]%MOD)%MOD;
    return res;
}
Matrix pow(Matrix mx,int m){
    Matrix res,base=mx;
    init(res); //初始为单位矩阵，即除主对角线都是1外，其他都是0
    while(m)
    {
        if(m&1)
            res=multiplicative(res,base);
        base=multiplicative(base,base);
        m>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
    int m;
    n=2;
    scanf("%d",&m);
    Matrix base,res;
    base.matrix[0][0]=base.matrix[0][1]=base.matrix[1][0]=1;
    base.matrix[1][1]=0;
    res=pow(base,m-1);
    if(m==0)
        puts("0");
    else if(m==1)
        puts("1");
    else
        printf("%lld\\n",res.matrix[0][0]%MOD);
    return 0;    
} 

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常见递推类型：