快速幂算法(矩阵快速幂还不是很会。。日后会更新)
Posted 吾之奉先
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PS:转载,自己写的不如人家,怕误导。转载地址:http://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4641812.html
首先,快速幂的目的就是做到快速求幂,假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次,这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别,快速幂能做到O(logn),快了好多好多。它的原理如下:
假设我们要求a^b,那么其实b是可以拆成二进制的,该二进制数第i位的权为2^(i-1),例如当b==11时
1 int poww(int a,int b){ 2 int ans=1,base=a; 3 while(b!=0){ 4 if(b&1!=0) 5 ans*=base; 6 base*=base; 7 b>>=1; 8 } 9 return ans; 10 }
代码很短,死记也可行,但最好还是理解一下吧,其实也很好理解,以b==11为例,b=>1011,二进制从右向左算,但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘,以便随时对ans做出贡献。
其中要理解base*=base这一步,看:::base*base==base^2,下一步再乘,就是base^2*base^2==base^4,然后同理 base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指数正是 2^i 啊,再看上 面的例子,a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),这三项是不是完美解决了,,嗯,快速幂就是这样。
顺便啰嗦一句,由于指数函数是爆炸增长的函数,所以很有可能会爆掉int的范围,根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。
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