快速幂算法(矩阵快速幂还不是很会。。日后会更新)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了快速幂算法(矩阵快速幂还不是很会。。日后会更新)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

PS:转载,自己写的不如人家,怕误导。转载地址:http://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4641812.html

首先,快速幂的目的就是做到快速求幂,假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次,这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别,快速幂能做到O(logn),快了好多好多。它的原理如下:

  假设我们要求a^b,那么其实b是可以拆成二进制的,该二进制数第i位的权为2^(i-1),例如当b==11时

                             a^11=a^(2^0+2^1+2^3)
  11的二进制是1011,11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1,因此,我们将a¹¹转化为算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) 
,看出来快的多了吧原来算11次,现在算三次,但是这三项貌似不好求的样子....不急,下面会有详细解释。
 
 
 
  由于是二进制,很自然地想到用位运算这个强大的工具: &  和 >>  
 
 
 
  &运算通常用于二进制取位操作,例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶,x&1==1为奇。
 
 
  >>运算比较单纯,二进制去掉最后一位,不多说了,先放代码再解释。
 
 
  
复制代码
 1 int poww(int a,int b){
 2     int ans=1,base=a;
 3     while(b!=0){
 4         if(b&1!=0)
 5           ans*=base;
 6         base*=base;
 7         b>>=1;
 8   }
 9     return ans;
10 }
复制代码

  代码很短,死记也可行,但最好还是理解一下吧,其实也很好理解,以b==11为例,b=>1011,二进制从右向左算,但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘,以便随时对ans做出贡献。

  其中要理解base*=base这一步,看:::base*base==base^2,下一步再乘,就是base^2*base^2==base^4,然后同理  base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指数正是 2^i 啊,再看上  面的例子,a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),这三项是不是完美解决了,,嗯,快速幂就是这样。

  顺便啰嗦一句,由于指数函数是爆炸增长的函数,所以很有可能会爆掉int的范围,根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。

以上是关于快速幂算法(矩阵快速幂还不是很会。。日后会更新)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

快速幂计算(整数快速幂/矩阵快速幂)

算法初步:快速乘,快速幂,矩阵快速幂

整数快速乘法/快速幂+矩阵快速幂+Strassen算法 (转)

快速幂矩阵

矩阵快速幂专题

算法笔记--矩阵快速幂