矩阵快速幂专题

Posted 2020-06-28 shengtao96

最近闲来无事，准备集中精力刷一波数论与图论。矩阵快速幂是数论里面的重要组成部分，值得我好好学习一下。因为题目比较多，分析也比较多，所以将此专题分成几个部分。做完这一专题，可能会暂时转向图论部分，然后等我组合数学学得差不多了，再回过头来继续做数论题。

矩阵快速幂算法的核心思想是将问题建模转化为数学模型（有一些简单题目是裸的矩阵模型，但是大部分难题就是难在要构造矩阵，用矩阵方法解决问题），推倒递推式，构造计算矩阵，用快速幂的思想求解矩阵A的n次方取mod，从而得到矩阵里面你需要的数据。

矩阵快速幂问题有某些特征，是类似快速幂的形式。首先，从题目中是一定可以得到一个递推式的，而且这个递推式不是简单的An与An-1的关系，而是关系式中带有An-2或之后的项，还有的情况甚至带有常数项和多个数列的组合（加减乘数）；其次，数据量比较大，不可能用打表方法做出来；最后，有些题目可能与矩阵一点没有关系，但是通过规律分析，能够转化为已知递推式求解某一项（取模）的。

这里给出模版：  我觉得我的矩阵模版不是特别好，但是也不是特别麻烦，所以请读者自行选择是否采用

<span style="font-size:18px;">#define maxn 10+5;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
struct matrix 
{
	int n;
	ll maze[maxn][maxn];
	void init(int n)
	{
		this->n=n;
		clr(maze,0);
	}
	matrix operator *(const matrix& rhs)
	{
		matrix ans;
		ans.init(n);
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
				for(int k=0;k<n;k++)
					ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%mod;
		return ans;
	}
};
matrix qlow(matrix a,int n)
{
	matrix ans;
	ans.init(a.n);
	for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
	while(n)
	{
		if(n&1)ans=ans*a;
		a=a*a;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}</span>

第一题 hdu-1757 

分析：题目直接给出了递推式（带有f（x-1）到f（x-10）），而且数据量非常大需要取模(这里并不要管a0~a9的值，若不为01那么只需多考虑一步取模)，这是简单的矩阵快速幂裸题。

<span style="font-size:18px;">#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define maxn 6+5
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const double pi = acos( -1 );
//const ll mod = 1e9+7;

int a[10];
ll k,m;
ll qmul(ll a,ll b)
{
     ll ans=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ans+a)%m;
        a=(a+a)%m;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
struct matrix
{
    int n;
    ll maze[maxn][maxn];
    void init(int n)
    {
        this->n=n;
        clr(maze,0);
    }
    matrix operator * (matrix & rhs)
    {
        matrix ans;
        ans.init(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<n;k++)
                    ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+qmul(maze[i][k],rhs.maze[k][j]))%m;
        return ans;
    }
};
matrix qlow(matrix a,ll n)
{
    matrix ans;
    ans.init(a.n);
    for(int i=0;i<ans.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
    while(~scanf("%lld %lld",&k,&m))
    {
        for(int i=0;i<10;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        if(k<10)
        {
            printf("%lld\n",k%m);
            continue;
        }
        matrix ans;
        ans.init(10);
        for(int i=0;i<10;i++)ans.maze[0][i]=i;
        matrix ant;
        ant.init(10);
        for(int i=0;i<9;i++)ant.maze[i+1][i]=1;
        for(int i=0;i<10;i++)ant.maze[i][9]=a[9-i];
        matrix tmp;
        tmp=qlow(ant,k-9);
        ans=ans*tmp;
        printf("%lld\n",ans.maze[0][9]);
    }
    return 0;
}</span>

第二题 hdu-1575

分析：这道题就是非常直白的矩阵快速幂，将主对角线上的数加起来取模-。-

<span style="font-size:18px;">#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define maxn 6+5
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const double pi = acos( -1 );
const ll mod = 9973;//1e9+7;

ll qmul(ll a,ll b)
{
    ll ans=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ans+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
struct matrix
{
    int n;
    ll maze[maxn][maxn];
    void init(int n)
    {
        this->n=n;
        clr(maze,0);
    }
    matrix operator * (matrix& rhs)
    {
        matrix ans;
        ans.init(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<n;k++)
                    ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%mod;
        return ans;
    }
};
matrix qlow(matrix a,int n)
{
    matrix ans;
    ans.init(a.n);
    for(int i=0;i<ans.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ans=(ans*a);
        a=(a*a);
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n,k;
        scanf("%d %d",&n,&k);
        matrix ans;
        ans.init(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                scanf("%d",&ans.maze[i][j]);
        ans=qlow(ans,k);
        ll anw=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            anw=(anw+ans.maze[i][i])%mod;
        printf("%lld\n",anw);
    }
    return 0;
}</span>

第三题 hdu-2604

分析：我这里只提出我的方法，其他网上大神的方法请到别的博客上查找。

对于L较大的情况（L大于2，至于为什么是2，你没有看见fmf和fff都是三个吗？），我考虑对于在E-queue里面的所有合法队列（-。-，其实和队列没有任何关系）。他们都是以mm，fm，mf，ff之一结尾的，我就分别将以他们结尾的并且总长度为n的个数记为mm[n]，fm[n]，mf[n]，ff[n]。

考虑mm[n]后面加m是mm[n+1]的一部分，加f是mf[n+1]的一部分；

fm[n]加f属于O-queue，舍去，加m是mm[n+1]的一部分；

依次类推。。。。。。

得到递推式mm[n+1]=mm[n]+fm[n];    mf[n+1]=mm[n+1];   fm[n+1]=ff[n]+mf[n];    ff[n+1]=mf[n+1];

构造矩阵    

|   mm[n]   mf[n]   fm[n]   ff[n]  |  *     |    1      1    0     0     |     

                |     0     0    1     1     |

        |     1     0    0     0     |

  |     0     0    1     0     |

<span style="font-size:18px;">#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define maxn 0+5
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const double pi = acos( -1 );
const ll mod = 1e9+7;
int m;
struct matrix
{
    int n;
    ll maze[maxn][maxn];
    void init(int n)
    {
        this->n=n;
        clr(maze,0);
    }
    matrix operator * (const matrix& rhs)
    {
        matrix ans;
        ans.init(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<n;k++)
                    ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%m;
        return ans;
    }
};
matrix qlow(matrix a,int n)
{
    matrix ans;
    ans.init(a.n);
    for(int i=0;i<ans.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
    int l;
    while(~scanf("%d %d",&l,&m))
    {
        if(l<=2)
        {
            if(l==0)puts("0");
            else if(l==1)printf("%d\n",2%m);
            else printf("%d\n",4%m);
            continue;
        }
        matrix ans;
        ans.init(4);
        for(int i=0;i<4;i++)ans.maze[0][i]=1;
        matrix ant;
        ant.init(4);
        ant.maze[0][1]=ant.maze[1][3]=ant.maze[2][0]=ant.maze[2][1]=ant.maze[3][2]=ant.maze[3][3]=1;
        ant=qlow(ant,l-2);
        ans=ans*ant;
        int anw=0;
        for(int i=0;i<4;i++)anw=(anw+ans.maze[0][i])%m;
        printf("%d\n",anw);
    }
    return 0;
}</span>

第四题  hdu-2256

分析：一开始会以为与矩阵无关，但是看见根号还要取模就会发现满满都是套路。-。-虽然根号2与根号3是两个根号，但是还有个2次方，先将2次方乘进去，得到5+2sqrt(6)，发现根号减少到一个，而且对于5+2sqrt(6)的n次方，一定是一个常数项和一个带根号6的项，而且互相之间有递推关系，这就把问题引向矩阵上了。

但是这里不能直接取模，因为Bn还有一部分是sqrt(6)，直接取模显然是错的

这样构造的矩阵和最后要求的数据都有了 -。-

<span style="font-size:18px;">#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define maxn 0+5
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const double pi = acos( -1 );
const ll mod = 1024;//1e9+7;

struct matrix 
{
    int n;
    ll maze[2][2];
    void init(int n)
    {
        this->n=n;
        clr(maze,0);
    }
    matrix operator * (const matrix& rhs)
    {
        matrix ans;
        ans.init(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<n;k++)
                    ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%mod; 
        return ans;
    }
};
matrix qlow(matrix a,int n)
{
    matrix ans;
    ans.init(a.n);
    for(int i=0;i<ans.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        matrix ans;
        ans.init(2);
        ans.maze[0][0]=1;
        matrix ant;
        ant.init(2);
        ant.maze[0][0]=ant.maze[1][1]=5;
        ant.maze[0][1]=2;
        ant.maze[1][0]=12;
        ant=qlow(ant,n);
        ans=ans*ant;
        printf("%d\n",(2*ans.maze[0][0]-1)%mod);
    }
    return 0;
}</span>

第五题 codeforces-185A

分析：做完前面的题，这道题反而简单了。不妨考虑当n年后（操作n次），正三角的个数是An，倒三角的个数是Bn。那么继续再操作一次，An个正三角变成了3An个正三角和An个倒三角，Bn个倒三角变成Bn个正三角和3Bn个倒三角。所以有递推关系  An+1=3An+Bn    Bn+1=An+3Bn

构造矩阵   

|   An   Bn    |  *     |    3     1    |  

         |    1     3    |

<span style="font-size:18px;">#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define maxn 0+5
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const double pi = acos( -1 );
const ll mod = 1e9+7;

ll mul(ll a,ll b)
{
	ll ans=0;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=(ans+a)%mod;
		a=(a+a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
struct matrix 
{
	int n;
	ll maze[maxn][maxn];
	void init(int n)
	{
		this->n=n;
		clr(maze,0);
	}
	matrix operator * (const matrix& rhs)
	{
		matrix ans;
		ans.init(n);
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
				for(int k=0;k<n;k++)
					ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+mul(maze[i][k],rhs.maze[k][j]))%mod;
		return ans;
	}
};
matrix qlow(matrix a,ll n)
{
	matrix ans;
	ans.init(a.n);
	for(int i=0;i<ans.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
	while(n)
	{
		if(n&1)ans=ans*a;
		a=a*a;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
    //freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
	ll n;
	scanf("%I64d",&n);
	matrix ans;
	ans.init(2);
	ans.maze[0][0]=1;
	matrix ant;
	ant.init(2);
	ant.maze[0][0]=ant.maze[1][1]=3;
	ant.maze[1][0]=ant.maze[0][1]=1;
	ant=qlow(ant,n);
	ans=ans*ant;
	printf("%I64d\n",ans.maze[0][0]);
    return 0;
}</span>

第六题 hdu-2842
分析：题目讲的好像是九连环（好像又不是，英语不好），-。-    可怜我并没有玩过

这道题非常像汉诺塔，但是题目只是求最小步数，而不需要求出具体的步骤。我假设对于长度为i的中国环，我最少需要f(i)步（1<=i<=n）。那么对于长度为n+1的中国环，我们先考虑将最后一个拿下来（没办法，奇葩的规则，只有拿下前n-1个且保留第n个，才能拿下第n+1个）。那么先将前n-1个取下来，需要f(n-1)步；再将第n+1个取下来，需要1步；再把前n-1个放回去，需要f(n-1)步（这里需要解释一下，前n-1个必须放回去，不然第n个无法取下，而且取下需要f(n-1)步，那么放回去也需要f(n-1)，直接相反的步骤再来一遍，不明白的多读几遍题目）；最后，将前n个都取下，需要f(n)步。所以得到递推式 f(n+1)=f(n)+2f(n-1)+1。对于递推式中有常数项，只需要给出一行或列留给常数项。

构造矩阵

|    f(n)    f(n-1)    1     |  *     |    1    1    0    |     

        |    2    0    0    |

       |    1    0    1    |

<span style="font-size:18px;">#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define maxn 0+5
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const double pi = acos( -1 );
const ll mod = 200907;//1e9+7;

struct matrix 
{
    int n;
    ll maze[maxn][maxn];
    void init(int n)
    {
        this->n=n;
        clr(maze,0);
    }
    matrix operator * (const matrix& rhs)
    {
        matrix ans;
        ans.init(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<n;k++)
                    ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%mod;
        return ans;
    }
};
matrix qlow(matrix a,int n)
{
    matrix ans;
    ans.init(a.n);
    for(int i=0;i<ans.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
    int n;
    matrix ant;
    ant.init(3);
    ant.maze[0][0]=ant.maze[0][1]=ant.maze[2][0]=ant.maze[2][2]=1;
    ant.maze[1][0]=2;
    while(scanf("%d",&n),n)
    {
        if(n<=2)
        {
            if(n==1)printf("%d\n",1);
            else printf("%d\n",2);
            continue;
        }
        matrix ans;
        ans.init(3);
        ans.maze[0][0]=2;
        ans.maze[0][1]=ans.maze[0][2]=1;
        ans=ans*qlow(ant,n-2);
        printf("%I64d\n",ans.maze[0][0]);
    }
    return 0;
}</span>

第七题 hdu-2276

分析：对于01串，如果前一位的数位为1，那么这一位就翻转（0变1，1变0）；前一位为0，那么这一位就不变。这就像前一位与这一位相加，并且mod2，如果前一位是0，那么这一位加上前一位再mod2数值不会改变；如果前一位是1，那么这一位就相当于+1mod2，正好和翻转的定义相同。这样我们就可以构造出矩阵

|    X    X    X    ...    X    |  *     |    1    1    0    ...   0    |     

                |    0    1    1    ...   0    |

          |    0    0   1 ...  0    |

........

       |    0    0    0    ...   1    |

              |    1    0    0    ...   1    |

<span style="font-size:18px;">#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define maxn 100+5
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const double pi = acos( -1 );
const ll mod = 1e9+7;

char str[maxn];
struct matrix 
{
    int n;
    ll maze[maxn][maxn];
    void init(int n)
    {
        this->n=n;
        clr(maze,0);
    }
    matrix operator * (const matrix & rhs)
    {
        matrix ans;
        ans.init(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<n;k++)
                    ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%2;
        return ans;
    }
};
matrix qlow(matrix a,int n)
{
    matrix ans;
    ans.init(a.n);
    for(int i=0;i<ans.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
    int m;
    while(~scanf("%d",&m))
    {
        scanf("%s",str);
        int n=strlen(str);
        matrix ans;
        ans.init(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(str[i]=='1')ans.maze[0][i]=1;
        matrix ant;
        ant.init(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            ant.maze[i][i]=1;
            if(i==0)ant.maze[n-1][0]=1;
            else ant.maze[i-1][i]=1;
        }
        ant=qlow(ant,m);
        ans=ans*ant;
        for(int i=0;i<n;i++)
            printf("%d",ans.maze[0][i]);
        puts("");
    }
    return 0;
}</span>

第八题 hdu-2254

分析：学过离散数学的都知道，如果用邻接矩阵来存图的话，矩阵A的n次方里面的（A^n）[i][j]表示从i到j且路径长度为n的不同路径条数。这一定理正好适用这一题目。我用邻接矩阵来建图（单向边，一条边对应一个++操作）得到矩阵A，题目要求的就是｛A^(t1)｝[v1][v2]+｛A^(t1+1)｝[v1][v2]+｛A^(t1+2)｝[v1][v2]+......+｛A^(t2)｝[v1][v2]的和取模。但是如果一个一个算的话特别麻烦，还有超时的可能，所以我们进一步改进思路。

对于，我们不妨设Z(n)=A^1+A^2+...+A^n

那么可以构造递推关系 A^(n+1)=A^n * A      Z(n+1)=Z(n)+ A^(n+1) =Z(n)+A^n * A 

构造矩阵

|    A^n   Z(n)     |  *     |    A    A    | 

|     0 0   |    |    0    E    |

但是这道题目略坑，有几个注意点：

1、城市的编号不是从0到n-1，而是随便的一个数字，需要离散化否则不能存相关信息

2、城市数不超过30，也就是说我的方法开矩阵不超过60，但是我残念的一开始以为最多可能有20000个不同城市    血崩！

3、图中可能有重边，所以别用=1，要用++操作

4、询问中v1，v2可能在前面的城市编号集中没有出现，那么此时答案为0

5、t1可能比t2大，这种情况你就交换下t1，t2

这道题要做对也是真心不容易！

#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define maxn 60+5
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const double pi = acos( -1 );
const ll mod = 2008;//1e9+7;

ll gra[10000+5][2];
ll num[20000+5];
int sum;
int bs(ll k)
{
    int m,l=0,r=sum-1;
    while(l<=r)
    {
        m=(l+r)>>1;
        if(k==num[m])return m;
        else if(k>num[m])l=m+1;
        else r=m-1;
    }
    return -1;
}
struct matrix 
{
    int n;
    ll maze[maxn][maxn];
    void init(int n)
    {
        this->n=n;
        clr(maze,0);
    }
    matrix operator * (const matrix & rhs)
    {
        matrix ans;
        ans.init(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<n;k++)
                    ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%mod;
        return ans;
    }
};
matrix qlow(matrix a,int n)
{
    matrix ans;
    ans.init(a.n);
    for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        sum=n*2;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%lld %lld",&gra[i][0],&gra[i][1]);
            num[i<<1]=gra[i][0];
            num[i<<1|1]=gra[i][1];
        }
        sort(num,num+sum);
        sum=unique(num,num+sum)-num;
        matrix ans;
        ans.init(sum<<1);
        matrix ant;
        ant.init(sum<<1);
        int a,b;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            a=bs(gra[i][0]);
            b=bs(gra[i][1]);
            ans.maze[a][b]++;
            ans.maze[a][b+sum]++;
        }
        for(int i=0;i<sum;i++)
            ans.maze[i+sum][i+sum]=1;
        int q;
        scanf("%d",&q);
        while(q--)
        {
            int t1,t2;
            ll v1,v2;
            scanf("%lld %lld %d %d",&v1,&v2,&t1,&t2);
            v1=bs(v1);
            v2=bs(v2);
            if(v1==-1||v2==-1)
            {
                puts("0");
                continue;
            }
            if(t1>t2)swap(t1,t2);
            t1--;
            int d,d1,d2;
            if(t1<=0)d1=0;
            else 
            {
                ant=qlow(ans,t1);
                d1=ant.maze[v1][v2+sum];
            }
            if(t2<=0)d2=0;
            else 
            {
                ant=qlow(ans,t2);
                d2=ant.maze[v1][v2+sum];
            }
            d=d2-d1;
            while(d<0)d+=mod;
            printf("%d\n",d);
        }
    }
    return 0;
}

第九题 hdu-3117

分析：其实这道题不应该放在矩阵快速幂专题的，因为这道题关于矩阵的部分很简单-。-，难的是题目的数学部分-。-

求解斐波那契数列的值，对于数值位不超过8位的直接输出数值；但是对于大于8位的，输出值的前四位和后四位（格式自己看-。-）。后四位当然非常简单了，f(n)=f(n-1)+f(n-2) ,mod 10000,我就不再赘述了

但是对于前四位还是挺麻烦的，这里要用到对数的优良性质。

这里就不细说了 ，详情请看大神的博客 http://blog.sina.com.cn/s/blog_9bf748f301019q3t.html

<span style="font-size:18px;">#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define maxn 60+5
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const double pi = acos( -1 );
const ll mod = 10000;//1e9+7;

int fa[60];
struct matrix 
{
    int n;
    ll maze[5][5];
    void init(int n)
    {
        this->n=n;
        clr(maze,0);
    }
    matrix operator * (const matrix & rhs)
    {
        matrix ans;
        ans.init(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<n;k++)
                    ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%mod;
        return ans;
    }
};
matrix qlow(matrix a,int n)
{
    matrix ans;
    ans.init(a.n);
    for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
    fa[0]=0;
    fa[1]=1;
    for(int i=2;i<40;i++)
        fa[i]=fa[i-1]+fa[i-2];
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(n<40)
        {
            printf("%d\n",fa[n]);
            continue;
        }
        double p=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
        double s=1.0*n*log10(p)-log10(5.0)/2;
        s=s-(int)s;
        int anw=(int)(pow(10.0,s)*1000);
        printf("%d...",anw);
        matrix ant;
        ant.init(2);
        ant.maze[0][0]=ant.maze[0][1]=ant.maze[1][0]=1;
        ant=qlow(ant,n-1);
        printf("%04d\n",ant.maze[0][0]);
    }
    return 0;
}</span>