P2300 合并神犇(单调队列优化dp)

Posted 2021-09-04 Harris-H

P2300 合并神犇(单调队列优化dp)

令$f_i$​表示前$i$​个数的最少合并次数，$g_i$​表示在$f_i$​条件下的最小结尾值。

有转移方程：$f_i=min(f_j+i-j-1),s(j,i)\ge g_j$

因为：$f_{j+1}\le f_j+1$​ 即$j+1$，$f_{j+1}$至多会加1， 而$j$加$1,i+j-1$ 必定会减$1$

因此在满足$s(j,i)\ge g_j$ 的情况下，肯定$j$越大越好。

$s_i-s_j\ge g_j\to s_i\ge s_j+g_j$。

因此考虑单调队列维护$s_j+g_j$ ，然后每次选择满足$s_j+g_j\le s_i$ 的条件下靠近队尾的，因为靠近队尾的$j$更大。

然后维护一个单调递增的单调队即可，注意$node$​ 除了记录$s_j+g_j$​ ，还要记录$j$​这个$id$​ 便于转移。

另外需要注意的是队列最开始要加入$(0,0)$这个结点，因为有可能直接前面所有的数为为一组进行转移。

时间复杂度：$O(n)$

// Problem: P2300 合并神犇
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2300
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Date: 2021-08-10 10:02:52
// --------by Herio--------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=2e5+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0) 
void Print(int *a,int n){
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	printf("%d\\n",a[n]); 
}
ll f[N],g[N];
ll a[N];
int n;
int l=1,r=1;//这里相当于加入了(0,0) 因为有可能直接从(0,0) 转移
struct node{
	int id;
	ll w;
}q[N];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]),a[i]+=a[i-1];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(l+1<=r&&q[l+1].w<=a[i]) l++;
		f[i]=f[q[l].id]+i-q[l].id-1,g[i]=a[i]-a[q[l].id];
		while(l<=r&&a[i]+g[i]<=q[r].w) r--;
		q[++r]={i,a[i]+g[i]};
	}
	printf("%lld\\n",f[n]);
	return 0;
}