单调队列以及单调队列优化DP

Posted 2021-01-10 dxy0310

单调队列定义：

　　其实单调队列就是一种队列内的元素有单调性的队列，因为其单调性所以经常会被用来维护区间最值或者降低DP的维数已达到降维来减少空间及时间的目的。

　　单调队列的一般应用：

　　　　1.维护区间最值

　　　　2.优化DP

例题引入：

　　https://www.luogu.org/problemnew/show/P1440

　　一个含有n项的数列(n<=2000000)，求出每一项前的m个数到它这个区间内的最小值。若前面的数不足m项则从第1个数开始，若前面没有数则输出0。

 

例题解答：

　　　首先看到题目可以很快想到O（NM）,对于2*10^6这样的数据无疑要TLE的；

　　 接下来考虑用单调队列，因为每一个答案只与当前下标的前m个有关，所以可以用单调队列维护前m的个最小值，

　　 考虑如何实现该维护的过程？？

　　 显然当前下标X的m个以前的元素（即下标小于X-M+1的元素）肯定对答案没有贡献，所以可以将其从单调队列中删除。

　　 对于两个元素A，B，下标分别为a,b，如果有A>=B&&a<b那么B留在队列里肯定优于A，因此可以将A删除。

　　 维护队首：如果队首已经是当前元素的m个之前，将head++，弹出队首元素

　　 维护队尾：比较q[tail]与当前元素的大小，若当前元素更优tail++，弹出队尾元素，直到可以满足队列单调性后加入当前元素。

　　 考虑单调队列的时间复杂度：由于每一个元素只会进队和出队一次，所以为O（N）。

　　 一般建议用数组模拟单调队列进行操作，而不用系统自带的容器，因为系统自带容器不易调试且可能有爆空间的危险。

代码实现：

　　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define maxn 2000009
#define maxm
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)    f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=(x<<1)+(x<<3)+(ll)(ch-‘0‘);ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m,k,tot,head,tail;
int a[maxn],q[maxn];
int main()
{
//    freopen(".in","r",stdin);
//    freopen(".out","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    head=1,tail=0;//起始位置为1 因为插入是q[++tail]所以要初始化为0
    for(int i=1;i<=n;i++)//每次队首的元素就是当前的答案 
    {
        printf("%d
",a[q[head]]);
        while(i-q[head]+1>m&&head<=tail)//维护队首 
            head++;
        while(a[i]<a[q[tail]]&&head<=tail)//维护队尾 
            tail--;
        q[++tail]=i;
    }
//    fclose(stdin);
//    fclose(stdout);
    return 0;
}

 

习题报告：

 　　滑动窗口：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1886

　　 解题思路: 此题与例题相同，只是所要求的是最大值和最小值，只需要做两遍单调队列即可　　 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define ll long long
#define maxn 1000009
#define maxm
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=(x<<1)+(x<<3)+(ll)(ch-‘0‘);ch=getchar();}
    return x*f;
}
int q[maxn],a[maxn];
int n,m,k,ans,tot,head,tail; 

void Ask_MIN()
{
    head=1,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<=tail&&i-q[head]+1>m)
            head++;
        while(head<=tail&&a[q[tail]]>=a[i])
            tail--;
        q[++tail]=i;
        if(i>=m)
            printf("%d ",a[q[head]]);    
    }
    puts("");
}

void Ask_MAX()
{
    head=1,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<=tail&&i-q[head]+1>m)
            head++;
        while(head<=tail&&a[q[tail]]<=a[i])
            tail--;
        q[++tail]=i;
        if(i>=m)
            printf("%d ",a[q[head]]);
    }
    puts("");
}
int main()
{
//    freopen(".in","r",stdin);
//    freopen(".out","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    Ask_MIN();
    Ask_MAX();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}

View Code

 

 

 

　　 挤奶牛：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3088　　

　 　解题思路：此题题目需要维护左和右分别D区间内的最大值，因此可以正着和倒着分别做一次单调队列，然后打标记即可。

　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define ll long long
#define maxn 50009
#define maxm
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=(x<<1)+(x<<3)+(ll)(ch-‘0‘);ch=getchar();}
    return x*f;
}
struct cow
{
    int h,x;
}p[maxn];
int q[maxn];
bool fear[maxn];
int n,m,k,ans,tot,head,tail; 
bool comp(cow a,cow b)
{
    return a.x<b.x;
}
int main()
{
//    freopen(".in","r",stdin);
//    freopen(".out","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        p[i].x=read(),p[i].h=read();
    sort(p+1,p+1+n,comp);
    head=1,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<=tail&&p[i].x-p[q[head]].x>m)
            head++;
        while(head<=tail&&p[i].h>=p[q[tail]].h)
            tail--;
        q[++tail]=i;
        if(p[q[head]].h>=2*p[i].h)
            fear[i]=1;
    }
    head=1,tail=0;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        while(head<=tail&&p[q[head]].x-p[i].x>m)
            head++;
        while(head<=tail&&p[q[tail]].h<=p[i].h)
            tail--;
        q[++tail]=i;
        if(p[q[head]].h>=p[i].h*2&&fear[i])
            ans++;
    }
    printf("%d
",ans);
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}

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单调队列优化DP：

　　     切蛋糕：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1714

　　  解题思路：同最大连续和，需要求出的是一个最大的长度为K的区间和。要快速知道一个区间的和可以用前缀和相减的形式来得到，那么此题可以维护前缀和的单调性，保持