2021牛客暑期多校训练营1 Alice and Bob(结论,sg打表|优化)

Posted 2021-09-01 issue是fw

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$Alice$和$Bob$做游戏,$Alice$先手.

每次每个人可以从其中一堆拿走$k(k>0)$个石子,同时从另一堆拿走$s\ast k(s>=0)$个石子

谁不能操作谁就输了,问胜负情况.

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容易想到定义$f[i][j]$表示两堆式子分别剩下$i,j$个的胜负情况

可以暴力枚举转移,复杂度为$O(n^{3}log(n))$

然后发现$n$不大可以暴力打表,比赛中也有人这么干了

不过$n$大一点就没办法了

结论

当一堆石子个数为$i$时,另一种石子只有一种情况能使后手必胜

证明

反证法,假设$(i,p)$和$(i,q)$都是后手必胜(其中$p>q$)

设现在局面为$(i,p),$那么先手第一次从第二堆式子拿走$p-q$个

局面变为$(i,q)$,这不就说明先手其实是必胜的吗?

所以状态$(i,p)$是必胜态

于是,可以发现$f[i][j]$中后手必胜的情况最多只有$n$种

于是可以把后手必胜的状态提取出来,能转移到这个状态的$f[i][j]$都是先手必胜

复杂度$O(n^{2}log(n))$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e3+10;
bool f[maxn][maxn];
vector<int>ans;
void init()
{
	int z = 0, w = 0;
	for(int i=0;i<=5000;i++)
	for(int j=0;j<=5000;j++)
	{
		if( f[i][j] )	continue;//先手必胜跳过
		for(int fi=1;i+fi<=5000;fi++)//从第一堆里面拿走fi个 
		for(int se=0;j+se<=5000;se+=fi)//从第二堆里面拿走se个 
			f[i+fi][j+se] = true;
		for(int fi=1;j+fi<=5000;fi++)
		for(int se=0;i+se<=5000;se+=fi)
			f[i+se][j+fi] = true;		 
	}
}
int main()
{
	init();
	int t; cin >> t;
	while( t-- )
	{
		int n,m; cin >> n >> m;
		if( f[n][m] )	cout << "Alice\\n";
		else	cout << "Bob\\n";
	}
}