李宏毅线性代数笔记6：矩阵的计算

Posted 2021-08-30 刘文巾

1 矩阵的几个概念

1.1 特殊矩阵

1.1.1 数量矩阵

主对角线上元素是同一个数，其余元素全为0的n级矩阵

1.1.2 对角矩阵（diagonal matrix）

主对角线元素之外全为0的方阵

记作diag{d1,d2,……dn}

1.1.3 基本矩阵

只有一个元素是1，其余元素全为0的矩阵

(i,j)元为1的基本矩阵:Eij

用Eij左乘（右乘）一个矩阵A，就相当于把A的第j行搬到第i行（第i列搬到第j列），而其余元素变为0 【左行右列】

1.1.4 初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等行/列变换得到的矩阵

用初等矩阵左乘（右乘）一个矩阵，相当于对这个矩阵做相应的初等行（列）变换【左行右列】

1.1.5 单位矩阵

 

1.2 可交换

如果AB=BA，那么A，B可交换

一般来说,≠，但是如果A，B可交换，那么=

 1.3 矩阵集合

2 初等行变化与矩阵相乘

 3 阶梯矩阵REF和简化阶梯矩阵RREF

3.1 REF 

Row Echelon Form 行阶梯矩阵

 3.2 RREF

Reduced Row Echelon Form 简化行阶梯矩阵

 

 3.3 RREF 和原始矩阵之间的关系

 

 初等行变换不改变列之间的线性关系

span——向量张成的空间

因为初等行变换之后，行相当于是等价的，原来能线性表出哪些向量，现在还能；而列就不一样了。

 4 矩阵向量乘法

矩阵相当于一个线性系统

对于一个多元线性方程组如下图，输入为x=[x1​ x2​ x3​...xn​]，经过一个线性变换后，输出为b=[b1​ b2​ x3​...bm​]，这个线性系统便是对x做了一个线性的处理，其处理的方法为矩阵A

‘对一个系数矩阵Am×n​和一个代表参数的向量xn​相乘，拿下图举例，有两种理解方式：

 

1. 从行层面上理解：
   将A的两行表示在坐标系中如下图右侧所示；对照方程组，将向量中的x1​ x2​与矩阵行中的元素对应相乘后组成向量：首先是A1,:与x相乘，发现结果为0，证明二者垂直，而后是A2,:​与x相乘，得出结果。（每一个维度是A的一行与x的内积） ——>结果的每一个维度都是A对应的行和x的内积结果
2. 从列层面上理解：
   数据域的x1​与A:,1​相乘，相当于逆向延长两倍[1 −3] 这个向量，同理，x2​与A:,2​相乘，相当于正向缩小为原来长度的一半，二者形成的列向量叠加后与1有相同的结果。——>结果是以x为系数，A每一列为向量的矢量和

 5 矩阵乘法

 矩阵的乘法相当于两个线性函数的组合

5.1 矩阵相乘的先后顺序对于运算速度的影响

虽然使用交换律对矩阵相乘的结果没有什么影响，但是对于运算的次数，先进行分析，再视情况适当交换运算顺序会带来很大的效益

（三个矩阵相乘的规则是按顺序两两相乘，因此运算次数是加的关系，不同结合情况对运算次数显然有不同影响）。

矩阵 A（M*N) 和矩阵B（N*P）相乘，A的每一行要和B的每一列进行内积（也就是进行N次乘法+N次求和），

—>然后A和B分别由M行和P列，相当于一共M*P对行列对

—>所以这两个矩阵相乘，相当于M*N*P次操作

回到这个问题，如果是先CP，再A和乘积相乘，那么CP需要M*N*P次操作，10^6数量级；然后A在和结果相乘K*M*P，又是10^6数量级

如果是先AC，那么是K*M*N，1000的数量级；然后结果再和P相乘K*N*P ，1000的数量级

5.2 GPU的加速效果

 6 可逆矩阵

6.1 互为可逆矩阵  

 6.2 可逆矩阵唯一

如果AB=I，AC=I，那么B=C

证明：B=B(AC)=(BA)C=C

 6.3 矩阵乘积的逆

6.4 矩阵转置的逆

 6.5 矩阵可逆的条件

说白了就是方阵满秩

换言之，如果一个矩阵A是可逆的，当且仅当A的简化阶梯矩阵是单位矩阵

6.6 为何可逆矩阵需要满秩方阵？

6.6.1 单射（one to one）

单射：每个v射向不同的f(v)，但不一定每个f(v)都会被射到

 如果是矮胖型的矩阵，那么列之间肯定线性相关，那么对于某一个特定的 f(v) ,会存在两个不同的v1和v2，使得f(v1)=f(v),f(v2)=f(v),不满足单射（每个v射向不同的f(v)的条件

而单射的逆呢？因为不一定每个f都被映射到，所以单射的逆不能保证也是单射（可能会由在域空间上的值不在定义域空间内）

为了保证one to one ，也就是每个v，f(v)的值不同，我们需要矩阵A各个列线性无关

6.6.2 满射（onto）

满射是值每个值域空间的点都会被映射到（虽然可能多个v射到一个值域上去）

也就是说，对于任意一个b，Av=b都有解，

按照前面的说法（“线性方程有解的充要条件”），矩阵A的简化阶梯矩阵不能有0行（也就是说，它不能是高瘦型矩阵）；同时它的秩等于它的行数

满射的逆甚至可能不是映射（一个值域上的值可能对应了几个定义域上的值）

6.6.3 矩阵可逆的条件

所以如果一个矩阵可逆，那么它必须同时是单射和满射

'

 6.7 矩阵逆的求法

 6.8 用伴随矩阵求矩阵的逆

 伴随矩阵C的每个元素是A对应的代数余子式

 

证明

 矩阵的行列式=某一行元素*其代数余子式的和

Σ第i行元素*第j行元素的代数余子式=0