李宏毅线性代数总结：万事万物皆可为向量

Posted 2021-08-30 刘文巾

1 这些都可以是向量

复习内容：李宏毅线性代数笔记4：向量_刘文巾的博客-CSDN博客

 线性变化->矩阵->向量

1.1 甚至函数也是向量

向量就是函数泰勒展开后每一项的系数

1.2 向量的定义

 1，自定义加法和数乘运算

2，满足八性质

 同一个内容，在不同的向量空间内，表现形式也是不一样的

2 子空间

复习内容：李宏毅线性代数笔记7 子空间_刘文巾的博客-CSDN博客

 在之前的子空间中，如果0元素属于子空间，而且关于加法和数乘封闭，那么就是一个子空间

 

 

3 线性组合

复习内容：李宏毅线性代数笔记4：向量_刘文巾的博客-CSDN博客 

 发现任取a,b,c,对角线正好互为相反数，也就是张成的空间里面所有矩阵的迹为0

 

 4 线性变换

 矩阵转置是线性的（根据定义易证）

5 零空间

复习内容：李宏毅线性代数笔记7 子空间_刘文巾的博客-CSDN博客

转置的零空间就是零矩阵

转置的值域range就是整个矩阵空间

6 基

6.1 线性无关

找不到一组非全零的系数，使得ax1+bx2+…+=0

复习内容：李宏毅线性代数笔记5：线性方程组_刘文巾的博客-CSDN博客

 

浅显的证明法是，因为都恒大于0，所以式子等于0的话，系数必然都为0

这里给的证明方法是，两边同时做微分

6.2 基

复习内容：李宏毅线性代数笔记7 子空间_刘文巾的博客-CSDN博客

 

 7 线性操作的矩阵表示

求导的矩阵表示

我们可以把P2上的多项式理解成一个向量，我们通过一个矩阵，得到输出的P2多项式，这个矩阵就是线性操作微分所对应的矩阵 

 我们把标准基输入进去，看输出什么

标准基ei对应的就是求导对应的矩阵的第i列

另外的一个例子，我们的基是这样的两个函数：

         也是和上面一样的方法，把标准基分别输入进去，得到微分对应的矩阵

        这个有什么应用呢，就是我们知道，这边值域空间的函数，想要积分回去，是比较困难的，我们就可以将值域空间对应的向量乘以微分矩阵的逆，就得到积分结果

 8 特征值和特征向量

李宏毅线性代数笔记9：特征值与特征向量_刘文巾的博客-CSDN博客

 

对于转置操作，先求他对应的矩阵，然后求他的特征值

 9 内积

复习内容：李宏毅线性代数11： 正交（Orthogonality）_刘文巾的博客-CSDN博客

满足这四个性质的就是内积

那么我们就可以定义广义的正交和范数