小波分析四正交多分辨分析
Posted 陆嵩
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了小波分析四正交多分辨分析相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
【小波分析】四、正交多分辨分析
文章目录
内容回顾
形而上的理解
上一次我们引入了多分辨分析，及其与正交小波的一个关系。
多分辨分析 V j V_j Vj 有这样一些特征。 V j V_j Vj 包含于 V j + 1 V_{j+1} Vj+1 里面的，它可以通过在时间上压缩一倍直接得到。而每个 V j V_j Vj 空间，都有自己的一组标准正交基， V j + 1 V_{j+1} Vj+1 的标准正交基，并不是通过 V j V_j Vj 的标准正交基直接扩充得到，两组基之间，可能完全变了样。它最小的是一个只包含零元素的平凡空间， V j V_j Vj 中最大的一个，刚好充满整个 L 2 L^2 L2 空间。这个过程就像盖房子，你要盖更大的房子，你就要把原来的房子推倒重来。
而正交小波有这样一些特征。 W j + 1 W_{j+1} Wj+1 也是可以通过 W j W_j Wj 在时间上压缩一倍得到，更神奇的是， W j + 1 W_{j+1} Wj+1 和 W j W_j Wj 是正交的，这就好比，一个东西，你把在时间上压了一压，就变得不是自己了，反而是和自己正交的东西。每个 W j W_{j} Wj 都有一组标准正交基，基和基之间也是正交的， W j + 1 W_{j+1} Wj+1 的基可以通过 W j W_j Wj的基时间伸缩和单位化得到。把这些所有的 W j W_j Wj 基放在一块，刚好可以张成整个的 L 2 L^2 L2 空间。这个过程就好比是贴瓷砖，每次都在原来的瓷砖周围贴上一层新的瓷砖，一直到铺满一面墙。
V j V_j Vj 和 W j W_j Wj 之间有这样一个关系。
V j + 1 = V j ⊕ W j V_{j+1}=V_{j} \\oplus W_{j} Vj+1=Vj⊕Wj
所以，从这里来看，如果给定了一个正交多辨分析，只要找到 V j + 1 V_{j+1} Vj+1 在 V j V_j Vj 上的补空间的一组标准正交基，使得它和前面所有的 W j W_j Wj 是正交的，那么，我们其实就找到了正交小波。我们可以把这个过程写得更加具体而可操作，那么这就是正交多辨分析的主要内容。
多分辨分析与正交小波
回顾一下多分辨的定义：
定义 设
{
V
j
;
j
∈
Z
}
\\left\\{V_{j} ; j \\in Z\\right\\}
{Vj;j∈Z} 是
L
(
R
)
L(R)
L(R)上的一列闭子空间,
ϕ
(
x
)
\\phi(x)
ϕ(x) 是
L
2
(
R
)
L^{2}(R)
L2(R) 中 的一个函数，如果它们满足如下的五个条件，即
(1) 单调性:
V
j
⊂
V
j
+
1
,
∀
j
∈
Z
V_{j} \\subset V_{j+1}, \\quad \\forall j \\in Z
Vj⊂Vj+1,∀j∈Z
(2) 唯一性:
⋂
j
∈
Z
V
j
=
{
0
}
\\bigcap_{j \\in Z} V_{j}=\\{0\\}
j∈Z⋂Vj={0}
(3) 稠密性:
(
⋃
j
∈
Z
V
j
)
‾
=
L
2
(
R
)
\\overline{\\left(\\bigcup_{j \\in Z} V_{j}\\right)}=L^{2}(R)
⎝⎛j∈Z⋃Vj⎠⎞=L2(R)
(4) 伸缩性:
f
(
t
)
∈
V
j
⇔
f
(
2
t
)
∈
V
j
+
1
∀
j
∈
Z
f(t) \\in V_{j} \\Leftrightarrow f(2 t) \\in V_{j+1} \\quad \\forall j \\in Z
f(t)∈Vj⇔f(2t)∈Vj+1∀j∈Z
(5) 可构造性:
{
ϕ
(
t
−
n
)
;
n
∈
Z
}
\\{\\phi(t-n) ; n \\in Z\\}
{ϕ(t−n);n∈Z}
构成子空间
V
0
V_{0}
V0 的标准正交基。
那么，称 { { V j ; j ∈ Z } ; ϕ ( x ) } \\left\\{\\left\\{V_{j} ; j \\in Z\\right\\} ; \\phi(x)\\right\\} {{Vj;j∈Z};ϕ(x)} 是 L 2 ( R ) L^{2}(R) L2(R) 上的一个正交多分辨分析(MRA，Multi-Resolution Analysis)。
由如上的定义，我们容易知道：
{ ϕ j , n ( t ) = 2 j 2 ϕ ( 2 j t − n ) ; n ∈ Z } \\left\\{\\phi_{j, n}(t)=2^{\\frac{j}{2}} \\phi\\left(2^{j} t-n\\right) ; n \\in Z\\right\\} {ϕj,n(t)=22jϕ(2jt−n);n∈Z}
构成了 V j V_j Vj 空间的一组标准正交基。
仿照 Shannon 小波的构造方法，对
∀
j
∈
Z
\\forall j \\in Z
∀j∈Z, 定义如下的子空间
W
j
W_{j}
Wj， 以上是关于小波分析四正交多分辨分析的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
W
j
⊥
V
j
,
V
j
+
1
=
W
j