小波分析四正交多分辨分析

Posted 陆嵩

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【小波分析】四、正交多分辨分析

内容回顾

形而上的理解

上一次我们引入了多分辨分析,及其与正交小波的一个关系。

多分辨分析 V j V_j Vj 有这样一些特征。 V j V_j Vj 包含于 V j + 1 V_{j+1} Vj+1 里面的,它可以通过在时间上压缩一倍直接得到。而每个 V j V_j Vj 空间,都有自己的一组标准正交基, V j + 1 V_{j+1} Vj+1 的标准正交基,并不是通过 V j V_j Vj 的标准正交基直接扩充得到,两组基之间,可能完全变了样。它最小的是一个只包含零元素的平凡空间, V j V_j Vj 中最大的一个,刚好充满整个 L 2 L^2 L2 空间。这个过程就像盖房子,你要盖更大的房子,你就要把原来的房子推倒重来。

而正交小波有这样一些特征。 W j + 1 W_{j+1} Wj+1 也是可以通过 W j W_j Wj 在时间上压缩一倍得到,更神奇的是, W j + 1 W_{j+1} Wj+1 W j W_j Wj 是正交的,这就好比,一个东西,你把在时间上压了一压,就变得不是自己了,反而是和自己正交的东西。每个 W j W_{j} Wj 都有一组标准正交基,基和基之间也是正交的, W j + 1 W_{j+1} Wj+1 的基可以通过 W j W_j Wj的基时间伸缩和单位化得到。把这些所有的 W j W_j Wj 基放在一块,刚好可以张成整个的 L 2 L^2 L2 空间。这个过程就好比是贴瓷砖,每次都在原来的瓷砖周围贴上一层新的瓷砖,一直到铺满一面墙。

V j V_j Vj W j W_j Wj 之间有这样一个关系。

V j + 1 = V j ⊕ W j V_{j+1}=V_{j} \\oplus W_{j} Vj+1=VjWj

所以,从这里来看,如果给定了一个正交多辨分析,只要找到 V j + 1 V_{j+1} Vj+1 V j V_j Vj 上的补空间的一组标准正交基,使得它和前面所有的 W j W_j Wj 是正交的,那么,我们其实就找到了正交小波。我们可以把这个过程写得更加具体而可操作,那么这就是正交多辨分析的主要内容。

多分辨分析与正交小波

回顾一下多分辨的定义:

定义 { V j ; j ∈ Z } \\left\\{V_{j} ; j \\in Z\\right\\} {Vj;jZ} L ( R ) L(R) L(R)上的一列闭子空间, ϕ ( x ) \\phi(x) ϕ(x) L 2 ( R ) L^{2}(R) L2(R) 中 的一个函数,如果它们满足如下的五个条件,即
(1) 单调性:
V j ⊂ V j + 1 , ∀ j ∈ Z V_{j} \\subset V_{j+1}, \\quad \\forall j \\in Z VjVj+1,jZ
(2) 唯一性:
⋂ j ∈ Z V j = { 0 } \\bigcap_{j \\in Z} V_{j}=\\{0\\} jZVj={0}
(3) 稠密性:
( ⋃ j ∈ Z V j ) ‾ = L 2 ( R ) \\overline{\\left(\\bigcup_{j \\in Z} V_{j}\\right)}=L^{2}(R) jZVj=L2(R)
(4) 伸缩性:
f ( t ) ∈ V j ⇔ f ( 2 t ) ∈ V j + 1 ∀ j ∈ Z f(t) \\in V_{j} \\Leftrightarrow f(2 t) \\in V_{j+1} \\quad \\forall j \\in Z f(t)Vjf(2t)Vj+1jZ
(5) 可构造性:
{ ϕ ( t − n ) ; n ∈ Z } \\{\\phi(t-n) ; n \\in Z\\} {ϕ(tn);nZ}
构成子空间 V 0 V_{0} V0 的标准正交基。

那么,称 { { V j ; j ∈ Z } ; ϕ ( x ) } \\left\\{\\left\\{V_{j} ; j \\in Z\\right\\} ; \\phi(x)\\right\\} {{Vj;jZ};ϕ(x)} L 2 ( R ) L^{2}(R) L2(R) 上的一个正交多分辨分析(MRA,Multi-Resolution Analysis)。

由如上的定义,我们容易知道:
{ ϕ j , n ( t ) = 2 j 2 ϕ ( 2 j t − n ) ; n ∈ Z } \\left\\{\\phi_{j, n}(t)=2^{\\frac{j}{2}} \\phi\\left(2^{j} t-n\\right) ; n \\in Z\\right\\} {ϕj,n(t)=22jϕ(2jtn);nZ}
构成了 V j V_j Vj 空间的一组标准正交基。

仿照 Shannon 小波的构造方法,对 ∀ j ∈ Z \\forall j \\in Z jZ, 定义如下的子空间 W j W_{j} Wj
W j ⊥ V j , V j + 1 = W j

以上是关于小波分析四正交多分辨分析的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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